Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57258 / 30036
↖ ↑ ↗
← N 69.329957°
W 22.736206°		 ← 107.81 m → N 69.329957°
W 22.733460°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
N 69.328988°
W 22.736206°		 ← 107.82 m →
11 622 m²		 N 69.328988°
W 22.733460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436847686767578 y=0.229160308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436847686767578 × 217)
    floor (0.436847686767578 × 131072)
    floor (57258.5)     		tx = 57258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229160308837891 × 217)
    floor (0.229160308837891 × 131072)
    floor (30036.5)     		ty = 30036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57258 / 30036 ti = "17/57258/30036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57258/30036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57258 ÷ 217
    57258 ÷ 131072     		x = 0.436843872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30036 ÷ 217
    30036 ÷ 131072     		y = 0.229156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436843872070312 × 2 - 1) × π
    -0.126312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39682166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229156494140625 × 2 - 1) × π
    0.54168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70175993651199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39682166} λ = -0.39682166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70175993651199))-π/2
    2×atan(5.48358967402015)-π/2
    2×1.3904161755357-π/2
    2.7808323510714-1.57079632675     		φ = 1.21003602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39682166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.736206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21003602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.329957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57258 KachelY 30036 -0.39682166 1.21003602 -22.736206 69.329957
    Oben rechts KachelX + 1 57259 KachelY 30036 -0.39677372 1.21003602 -22.733460 69.329957
    Unten links KachelX 57258 KachelY + 1 30037 -0.39682166 1.21001910 -22.736206 69.328988
    Unten rechts KachelX + 1 57259 KachelY + 1 30037 -0.39677372 1.21001910 -22.733460 69.328988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21003602-1.21001910) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21003602-1.21001910) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39682166--0.39677372) × cos(1.21003602) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352985700101951 × 6371000     		do = 107.810918663111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39682166--0.39677372) × cos(1.21001910) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.353001530889309 × 6371000     		du = 107.815753793054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21003602)-sin(1.21001910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352985700101951-0.353001530889309)×R²
    abs(-0.39677372--0.39682166)×1.58307873583952e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58307873583952e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58307873583952e-05×40589641000000     		ar = 11621.9887059236m²