Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57255 / 30044
↖ ↑ ↗
← N 69.322200°
W 22.744446°		 ← 107.85 m → N 69.322200°
W 22.741699°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
N 69.321230°
W 22.744446°		 ← 107.85 m →
11 633 m²		 N 69.321230°
W 22.741699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436824798583984 y=0.229221343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436824798583984 × 217)
    floor (0.436824798583984 × 131072)
    floor (57255.5)     		tx = 57255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229221343994141 × 217)
    floor (0.229221343994141 × 131072)
    floor (30044.5)     		ty = 30044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57255 / 30044 ti = "17/57255/30044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57255/30044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57255 ÷ 217
    57255 ÷ 131072     		x = 0.436820983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30044 ÷ 217
    30044 ÷ 131072     		y = 0.229217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436820983886719 × 2 - 1) × π
    -0.126358032226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.39696547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229217529296875 × 2 - 1) × π
    0.54156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70137644131503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39696547} λ = -0.39696547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70137644131503))-π/2
    2×atan(5.48148714689836)-π/2
    2×1.39034847923208-π/2
    2.78069695846416-1.57079632675     		φ = 1.20990063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39696547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.744446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20990063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.322200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57255 KachelY 30044 -0.39696547 1.20990063 -22.744446 69.322200
    Oben rechts KachelX + 1 57256 KachelY 30044 -0.39691753 1.20990063 -22.741699 69.322200
    Unten links KachelX 57255 KachelY + 1 30045 -0.39696547 1.20988370 -22.744446 69.321230
    Unten rechts KachelX + 1 57256 KachelY + 1 30045 -0.39691753 1.20988370 -22.741699 69.321230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20990063-1.20988370) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dl = 107.861029999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20990063-1.20988370) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dr = 107.861029999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39696547--0.39691753) × cos(1.20990063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353112371638325 × 6371000     		do = 107.84960741072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39696547--0.39691753) × cos(1.20988370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35312821097265 × 6371000     		du = 107.854445151127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20990063)-sin(1.20988370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353112371638325-0.35312821097265)×R²
    abs(-0.39691753--0.39696547)×1.58393343253072e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58393343253072e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58393343253072e-05×40589641000000     		ar = 11633.0306424971m²