Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57253 / 84895
↖ ↑ ↗
← S 46.858313°
W 22.749939°		 ← 208.85 m → S 46.858313°
W 22.747192°		 →
↑
208.84 m
↓
↑
208.84 m
↓
S 46.860191°
W 22.749939°		 ← 208.84 m →
43 616 m²		 S 46.860191°
W 22.747192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436809539794922 y=0.647701263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436809539794922 × 217)
    floor (0.436809539794922 × 131072)
    floor (57253.5)     		tx = 57253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647701263427734 × 217)
    floor (0.647701263427734 × 131072)
    floor (84895.5)     		ty = 84895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57253 / 84895 ti = "17/57253/84895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57253/84895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57253 ÷ 217
    57253 ÷ 131072     		x = 0.436805725097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84895 ÷ 217
    84895 ÷ 131072     		y = 0.647697448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436805725097656 × 2 - 1) × π
    -0.126388549804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39706134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647697448730469 × 2 - 1) × π
    -0.295394897460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.928010439744667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39706134} λ = -0.39706134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928010439744667))-π/2
    2×atan(0.395339480161326)-π/2
    2×0.376482242193455-π/2
    0.752964484386911-1.57079632675     		φ = -0.81783184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39706134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.749939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81783184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.858313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57253 KachelY 84895 -0.39706134 -0.81783184 -22.749939 -46.858313
    Oben rechts KachelX + 1 57254 KachelY 84895 -0.39701340 -0.81783184 -22.747192 -46.858313
    Unten links KachelX 57253 KachelY + 1 84896 -0.39706134 -0.81786462 -22.749939 -46.860191
    Unten rechts KachelX + 1 57254 KachelY + 1 84896 -0.39701340 -0.81786462 -22.747192 -46.860191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81783184--0.81786462) × R
    3.27800000000655e-05 × 6371000     		dl = 208.841380000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81783184--0.81786462) × R
    3.27800000000655e-05 × 6371000     		dr = 208.841380000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39706134--0.39701340) × cos(-0.81783184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683804843655504 × 6371000     		do = 208.85160038893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39706134--0.39701340) × cos(-0.81786462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683780924871142 × 6371000     		du = 208.844294976516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81783184)-sin(-0.81786462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683804843655504-0.683780924871142)×R²
    abs(-0.39701340--0.39706134)×2.39187843626976e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39187843626976e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39187843626976e-05×40589641000000     		ar = 43616.0936083414m²