Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57253 / 81175
↖ ↑ ↗
← S 39.417099°
W 22.749939°		 ← 235.95 m → S 39.417099°
W 22.747192°		 →
↑
235.92 m
↓
↑
235.92 m
↓
S 39.419221°
W 22.749939°		 ← 235.95 m →
55 665 m²		 S 39.419221°
W 22.747192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436809539794922 y=0.619319915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436809539794922 × 217)
    floor (0.436809539794922 × 131072)
    floor (57253.5)     		tx = 57253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619319915771484 × 217)
    floor (0.619319915771484 × 131072)
    floor (81175.5)     		ty = 81175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57253 / 81175 ti = "17/57253/81175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57253/81175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57253 ÷ 217
    57253 ÷ 131072     		x = 0.436805725097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81175 ÷ 217
    81175 ÷ 131072     		y = 0.619316101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436805725097656 × 2 - 1) × π
    -0.126388549804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39706134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619316101074219 × 2 - 1) × π
    -0.238632202148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.749685173158058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39706134} λ = -0.39706134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749685173158058))-π/2
    2×atan(0.472515289823037)-π/2
    2×0.44141908459707-π/2
    0.88283816919414-1.57079632675     		φ = -0.68795816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39706134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.749939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68795816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.417099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57253 KachelY 81175 -0.39706134 -0.68795816 -22.749939 -39.417099
    Oben rechts KachelX + 1 57254 KachelY 81175 -0.39701340 -0.68795816 -22.747192 -39.417099
    Unten links KachelX 57253 KachelY + 1 81176 -0.39706134 -0.68799519 -22.749939 -39.419221
    Unten rechts KachelX + 1 57254 KachelY + 1 81176 -0.39701340 -0.68799519 -22.747192 -39.419221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68795816--0.68799519) × R
    3.70299999999935e-05 × 6371000     		dl = 235.918129999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68795816--0.68799519) × R
    3.70299999999935e-05 × 6371000     		dr = 235.918129999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39706134--0.39701340) × cos(-0.68795816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772544113469747 × 6371000     		do = 235.954857538987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39706134--0.39701340) × cos(-0.68799519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772520600330723 × 6371000     		du = 235.947676021101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68795816)-sin(-0.68799519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772544113469747-0.772520600330723)×R²
    abs(-0.39701340--0.39706134)×2.3513139023601e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3513139023601e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3513139023601e-05×40589641000000     		ar = 55665.1816362566m²