Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57252 / 42326
↖ ↑ ↗
← N 53.608804°
W 22.752686°		 ← 181.21 m → N 53.608804°
W 22.749939°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
N 53.607173°
W 22.752686°		 ← 181.21 m →
32 845 m²		 N 53.607173°
W 22.749939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436801910400391 y=0.322925567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436801910400391 × 217)
    floor (0.436801910400391 × 131072)
    floor (57252.5)     		tx = 57252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322925567626953 × 217)
    floor (0.322925567626953 × 131072)
    floor (42326.5)     		ty = 42326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57252 / 42326 ti = "17/57252/42326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57252/42326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57252 ÷ 217
    57252 ÷ 131072     		x = 0.436798095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42326 ÷ 217
    42326 ÷ 131072     		y = 0.322921752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.12640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39710928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322921752929688 × 2 - 1) × π
    0.354156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1126154401815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39710928} λ = -0.39710928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1126154401815))-π/2
    2×atan(3.04230496466521)-π/2
    2×1.25322322614583-π/2
    2.50644645229165-1.57079632675     		φ = 0.93565013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39710928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.752686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93565013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.608804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57252 KachelY 42326 -0.39710928 0.93565013 -22.752686 53.608804
    Oben rechts KachelX + 1 57253 KachelY 42326 -0.39706134 0.93565013 -22.749939 53.608804
    Unten links KachelX 57252 KachelY + 1 42327 -0.39710928 0.93562168 -22.752686 53.607173
    Unten rechts KachelX + 1 57253 KachelY + 1 42327 -0.39706134 0.93562168 -22.749939 53.607173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93565013-0.93562168) × R
    2.84499999999577e-05 × 6371000     		dl = 181.25494999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93565013-0.93562168) × R
    2.84499999999577e-05 × 6371000     		dr = 181.25494999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39710928--0.39706134) × cos(0.93565013) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593295206917939 × 6371000     		do = 181.207627611456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39710928--0.39706134) × cos(0.93562168) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593318108500146 × 6371000     		du = 181.214622344148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93565013)-sin(0.93562168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593295206917939-0.593318108500146)×R²
    abs(-0.39706134--0.39710928)×2.29015822068579e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29015822068579e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29015822068579e-05×40589641000000     		ar = 32845.4133993453m²