Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57251 / 42301
↖ ↑ ↗
← N 53.649522°
W 22.755432°		 ← 181 m → N 53.649522°
W 22.752686°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
N 53.647894°
W 22.755432°		 ← 181 m →
32 761 m²		 N 53.647894°
W 22.752686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436794281005859 y=0.322734832763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436794281005859 × 217)
    floor (0.436794281005859 × 131072)
    floor (57251.5)     		tx = 57251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322734832763672 × 217)
    floor (0.322734832763672 × 131072)
    floor (42301.5)     		ty = 42301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57251 / 42301 ti = "17/57251/42301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57251/42301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57251 ÷ 217
    57251 ÷ 131072     		x = 0.436790466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42301 ÷ 217
    42301 ÷ 131072     		y = 0.322731018066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436790466308594 × 2 - 1) × π
    -0.126419067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39715721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322731018066406 × 2 - 1) × π
    0.354537963867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.113813862672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39715721} λ = -0.39715721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.113813862672))-π/2
    2×atan(3.04595311693507)-π/2
    2×1.25357856385096-π/2
    2.50715712770191-1.57079632675     		φ = 0.93636080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39715721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.755432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93636080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.649522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57251 KachelY 42301 -0.39715721 0.93636080 -22.755432 53.649522
    Oben rechts KachelX + 1 57252 KachelY 42301 -0.39710928 0.93636080 -22.752686 53.649522
    Unten links KachelX 57251 KachelY + 1 42302 -0.39715721 0.93633239 -22.755432 53.647894
    Unten rechts KachelX + 1 57252 KachelY + 1 42302 -0.39710928 0.93633239 -22.752686 53.647894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93636080-0.93633239) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dl = 181.000109999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93636080-0.93633239) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dr = 181.000109999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39715721--0.39710928) × cos(0.93636080) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.592722978477027 × 6371000     		do = 180.995091935292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39715721--0.39710928) × cos(0.93633239) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.592745859833675 × 6371000     		du = 181.002079032807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93636080)-sin(0.93633239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592722978477027-0.592745859833675)×R²
    abs(-0.39710928--0.39715721)×2.28813566478525e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28813566478525e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28813566478525e-05×40589641000000     		ar = 32760.7638846419m²