Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57250 / 45283
↖ ↑ ↗
← N 48.511146°
W 22.758179°		 ← 202.34 m → N 48.511146°
W 22.755432°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
N 48.509326°
W 22.758179°		 ← 202.34 m →
40 942 m²		 N 48.509326°
W 22.755432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436786651611328 y=0.345485687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436786651611328 × 217)
    floor (0.436786651611328 × 131072)
    floor (57250.5)     		tx = 57250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345485687255859 × 217)
    floor (0.345485687255859 × 131072)
    floor (45283.5)     		ty = 45283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57250 / 45283 ti = "17/57250/45283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57250/45283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57250 ÷ 217
    57250 ÷ 131072     		x = 0.436782836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45283 ÷ 217
    45283 ÷ 131072     		y = 0.345481872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436782836914062 × 2 - 1) × π
    -0.126434326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39720515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345481872558594 × 2 - 1) × π
    0.309036254882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.970866028004997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39720515} λ = -0.39720515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970866028004997))-π/2
    2×atan(2.64022998265233)-π/2
    2×1.20873777439286-π/2
    2.41747554878572-1.57079632675     		φ = 0.84667922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39720515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.758179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84667922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.511146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57250 KachelY 45283 -0.39720515 0.84667922 -22.758179 48.511146
    Oben rechts KachelX + 1 57251 KachelY 45283 -0.39715721 0.84667922 -22.755432 48.511146
    Unten links KachelX 57250 KachelY + 1 45284 -0.39720515 0.84664746 -22.758179 48.509326
    Unten rechts KachelX + 1 57251 KachelY + 1 45284 -0.39715721 0.84664746 -22.755432 48.509326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84667922-0.84664746) × R
    3.17599999999363e-05 × 6371000     		dl = 202.342959999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84667922-0.84664746) × R
    3.17599999999363e-05 × 6371000     		dr = 202.342959999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39720515--0.39715721) × cos(0.84667922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662474339238368 × 6371000     		do = 202.336715292991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39720515--0.39715721) × cos(0.84664746) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662498129831394 × 6371000     		du = 202.343981552471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84667922)-sin(0.84664746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662474339238368-0.662498129831394)×R²
    abs(-0.39715721--0.39720515)×2.37905930259297e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37905930259297e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37905930259297e-05×40589641000000     		ar = 40942.1450305262m²