Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57250 / 45281
↖ ↑ ↗
← N 48.514785°
W 22.758179°		 ← 202.32 m → N 48.514785°
W 22.755432°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
N 48.512966°
W 22.758179°		 ← 202.33 m →
40 926 m²		 N 48.512966°
W 22.755432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436786651611328 y=0.345470428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436786651611328 × 217)
    floor (0.436786651611328 × 131072)
    floor (57250.5)     		tx = 57250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345470428466797 × 217)
    floor (0.345470428466797 × 131072)
    floor (45281.5)     		ty = 45281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57250 / 45281 ti = "17/57250/45281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57250/45281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57250 ÷ 217
    57250 ÷ 131072     		x = 0.436782836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45281 ÷ 217
    45281 ÷ 131072     		y = 0.345466613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436782836914062 × 2 - 1) × π
    -0.126434326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39720515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345466613769531 × 2 - 1) × π
    0.309066772460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.970961901804237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39720515} λ = -0.39720515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970961901804237))-π/2
    2×atan(2.64048312366623)-π/2
    2×1.20876953021834-π/2
    2.41753906043668-1.57079632675     		φ = 0.84674273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39720515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.758179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84674273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.514785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57250 KachelY 45281 -0.39720515 0.84674273 -22.758179 48.514785
    Oben rechts KachelX + 1 57251 KachelY 45281 -0.39715721 0.84674273 -22.755432 48.514785
    Unten links KachelX 57250 KachelY + 1 45282 -0.39720515 0.84671098 -22.758179 48.512966
    Unten rechts KachelX + 1 57251 KachelY + 1 45282 -0.39715721 0.84671098 -22.755432 48.512966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84674273-0.84671098) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84674273-0.84671098) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39720515--0.39715721) × cos(0.84674273) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662426763538898 × 6371000     		do = 202.322184449775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39720515--0.39715721) × cos(0.84671098) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662450547977106 × 6371000     		du = 202.329448829415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84674273)-sin(0.84671098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662426763538898-0.662450547977106)×R²
    abs(-0.39715721--0.39720515)×2.3784438207719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3784438207719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3784438207719e-05×40589641000000     		ar = 40926.3144489622m²