Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57248 / 81035
↖ ↑ ↗
← S 39.119407°
W 22.763672°		 ← 236.91 m → S 39.119407°
W 22.760925°		 →
↑
236.94 m
↓
↑
236.94 m
↓
S 39.121538°
W 22.763672°		 ← 236.90 m →
56 132 m²		 S 39.121538°
W 22.760925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436771392822266 y=0.618251800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436771392822266 × 217)
    floor (0.436771392822266 × 131072)
    floor (57248.5)     		tx = 57248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618251800537109 × 217)
    floor (0.618251800537109 × 131072)
    floor (81035.5)     		ty = 81035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57248 / 81035 ti = "17/57248/81035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57248/81035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57248 ÷ 217
    57248 ÷ 131072     		x = 0.436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81035 ÷ 217
    81035 ÷ 131072     		y = 0.618247985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39730102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618247985839844 × 2 - 1) × π
    -0.236495971679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.74297400721125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39730102} λ = -0.39730102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74297400721125))-π/2
    2×atan(0.475697083174785)-π/2
    2×0.444016940051965-π/2
    0.88803388010393-1.57079632675     		φ = -0.68276245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39730102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68276245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.119407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57248 KachelY 81035 -0.39730102 -0.68276245 -22.763672 -39.119407
    Oben rechts KachelX + 1 57249 KachelY 81035 -0.39725309 -0.68276245 -22.760925 -39.119407
    Unten links KachelX 57248 KachelY + 1 81036 -0.39730102 -0.68279964 -22.763672 -39.121538
    Unten rechts KachelX + 1 57249 KachelY + 1 81036 -0.39725309 -0.68279964 -22.760925 -39.121538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68276245--0.68279964) × R
    3.71900000000203e-05 × 6371000     		dl = 236.937490000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68276245--0.68279964) × R
    3.71900000000203e-05 × 6371000     		dr = 236.937490000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39730102--0.39725309) × cos(-0.68276245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775832744793586 × 6371000     		do = 236.909861890786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39730102--0.39725309) × cos(-0.68279964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775809279649497 × 6371000     		du = 236.902696526753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68276245)-sin(-0.68279964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775832744793586-0.775809279649497)×R²
    abs(-0.39725309--0.39730102)×2.34651440897959e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34651440897959e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34651440897959e-05×40589641000000     		ar = 56131.9791675148m²