Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57248 / 44384
↖ ↑ ↗
← N 50.120578°
W 22.763672°		 ← 195.79 m → N 50.120578°
W 22.760925°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
N 50.118817°
W 22.763672°		 ← 195.80 m →
38 345 m²		 N 50.118817°
W 22.760925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436771392822266 y=0.338626861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436771392822266 × 217)
    floor (0.436771392822266 × 131072)
    floor (57248.5)     		tx = 57248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338626861572266 × 217)
    floor (0.338626861572266 × 131072)
    floor (44384.5)     		ty = 44384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57248 / 44384 ti = "17/57248/44384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57248/44384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57248 ÷ 217
    57248 ÷ 131072     		x = 0.436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44384 ÷ 217
    44384 ÷ 131072     		y = 0.338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39730102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338623046875 × 2 - 1) × π
    0.32275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01396130076343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39730102} λ = -0.39730102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01396130076343))-π/2
    2×atan(2.75649873673997)-π/2
    2×1.22278271879434-π/2
    2.44556543758868-1.57079632675     		φ = 0.87476911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39730102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87476911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.120578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57248 KachelY 44384 -0.39730102 0.87476911 -22.763672 50.120578
    Oben rechts KachelX + 1 57249 KachelY 44384 -0.39725309 0.87476911 -22.760925 50.120578
    Unten links KachelX 57248 KachelY + 1 44385 -0.39730102 0.87473837 -22.763672 50.118817
    Unten rechts KachelX + 1 57249 KachelY + 1 44385 -0.39725309 0.87473837 -22.760925 50.118817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87476911-0.87473837) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87476911-0.87473837) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39730102--0.39725309) × cos(0.87476911) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.641174059195149 × 6371000     		do = 195.790212299291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39730102--0.39725309) × cos(0.87473837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.641197648629324 × 6371000     		du = 195.797415616797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87476911)-sin(0.87473837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641174059195149-0.641197648629324)×R²
    abs(-0.39725309--0.39730102)×2.35894341754639e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35894341754639e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35894341754639e-05×40589641000000     		ar = 38345.1494324956m²