Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57246 / 84256
↖ ↑ ↗
← S 45.644768°
W 22.769165°		 ← 213.52 m → S 45.644768°
W 22.766418°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
S 45.646688°
W 22.769165°		 ← 213.52 m →
45 585 m²		 S 45.646688°
W 22.766418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436756134033203 y=0.642826080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436756134033203 × 217)
    floor (0.436756134033203 × 131072)
    floor (57246.5)     		tx = 57246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642826080322266 × 217)
    floor (0.642826080322266 × 131072)
    floor (84256.5)     		ty = 84256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57246 / 84256 ti = "17/57246/84256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57246/84256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57246 ÷ 217
    57246 ÷ 131072     		x = 0.436752319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84256 ÷ 217
    84256 ÷ 131072     		y = 0.642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436752319335938 × 2 - 1) × π
    -0.126495361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39739690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.28564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.897378760887451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39739690} λ = -0.39739690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897378760887451))-π/2
    2×atan(0.407636774004507)-π/2
    2×0.387072417551696-π/2
    0.774144835103393-1.57079632675     		φ = -0.79665149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39739690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.769165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79665149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.644768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57246 KachelY 84256 -0.39739690 -0.79665149 -22.769165 -45.644768
    Oben rechts KachelX + 1 57247 KachelY 84256 -0.39734896 -0.79665149 -22.766418 -45.644768
    Unten links KachelX 57246 KachelY + 1 84257 -0.39739690 -0.79668500 -22.769165 -45.646688
    Unten rechts KachelX + 1 57247 KachelY + 1 84257 -0.39734896 -0.79668500 -22.766418 -45.646688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79665149--0.79668500) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dl = 213.492209999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79665149--0.79668500) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dr = 213.492209999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39739690--0.39734896) × cos(-0.79665149) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.699104872987187 × 6371000     		do = 213.524623169825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39739690--0.39734896) × cos(-0.79668500) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.69908091230315 × 6371000     		du = 213.517304960172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79665149)-sin(-0.79668500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699104872987187-0.69908091230315)×R²
    abs(-0.39734896--0.39739690)×2.39606840369833e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39606840369833e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39606840369833e-05×40589641000000     		ar = 45585.0625035931m²