Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57244 / 86195
↖ ↑ ↗
← S 49.244500°
W 22.774658°		 ← 199.39 m → S 49.244500°
W 22.771911°		 →
↑
199.35 m
↓
↑
199.35 m
↓
S 49.246293°
W 22.774658°		 ← 199.38 m →
39 748 m²		 S 49.246293°
W 22.771911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436740875244141 y=0.657619476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436740875244141 × 217)
    floor (0.436740875244141 × 131072)
    floor (57244.5)     		tx = 57244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657619476318359 × 217)
    floor (0.657619476318359 × 131072)
    floor (86195.5)     		ty = 86195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57244 / 86195 ti = "17/57244/86195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57244/86195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57244 ÷ 217
    57244 ÷ 131072     		x = 0.436737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86195 ÷ 217
    86195 ÷ 131072     		y = 0.657615661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.12652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39749277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657615661621094 × 2 - 1) × π
    -0.315231323242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.99032840925074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39749277} λ = -0.39749277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99032840925074))-π/2
    2×atan(0.371454681834924)-π/2
    2×0.355658829046231-π/2
    0.711317658092463-1.57079632675     		φ = -0.85947867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39749277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.774658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85947867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.244500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57244 KachelY 86195 -0.39749277 -0.85947867 -22.774658 -49.244500
    Oben rechts KachelX + 1 57245 KachelY 86195 -0.39744483 -0.85947867 -22.771911 -49.244500
    Unten links KachelX 57244 KachelY + 1 86196 -0.39749277 -0.85950996 -22.774658 -49.246293
    Unten rechts KachelX + 1 57245 KachelY + 1 86196 -0.39744483 -0.85950996 -22.771911 -49.246293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85947867--0.85950996) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dl = 199.348590000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85947867--0.85950996) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dr = 199.348590000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39749277--0.39744483) × cos(-0.85947867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652832465548123 × 6371000     		do = 199.391838885929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39749277--0.39744483) × cos(-0.85950996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652808762980805 × 6371000     		du = 199.384599511766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85947867)-sin(-0.85950996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652832465548123-0.652808762980805)×R²
    abs(-0.39744483--0.39749277)×2.37025673184288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37025673184288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37025673184288e-05×40589641000000     		ar = 39747.7603632849m²