Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57243 / 9404
↖ ↑ ↗
← N 77.846474°
E134.445191°		 ← 128.59 m → N 77.846474°
E134.450684°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
N 77.845318°
E134.445191°		 ← 128.60 m →
16 533 m²		 N 77.845318°
E134.450684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873466491699219 y=0.143501281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873466491699219 × 216)
    floor (0.873466491699219 × 65536)
    floor (57243.5)     		tx = 57243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143501281738281 × 216)
    floor (0.143501281738281 × 65536)
    floor (9404.5)     		ty = 9404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57243 / 9404 ti = "16/57243/9404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57243/9404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57243 ÷ 216
    57243 ÷ 65536     		x = 0.873458862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9404 ÷ 216
    9404 ÷ 65536     		y = 0.14349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873458862304688 × 2 - 1) × π
    0.746917724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34651124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14349365234375 × 2 - 1) × π
    0.7130126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23999544544598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34651124} λ = 2.34651124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23999544544598))-π/2
    2×atan(9.39328850510547)-π/2
    2×1.46473680948864-π/2
    2.92947361897727-1.57079632675     		φ = 1.35867729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34651124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.445191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35867729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.846474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57243 KachelY 9404 2.34651124 1.35867729 134.445191 77.846474
    Oben rechts KachelX + 1 57244 KachelY 9404 2.34660711 1.35867729 134.450684 77.846474
    Unten links KachelX 57243 KachelY + 1 9405 2.34651124 1.35865711 134.445191 77.845318
    Unten rechts KachelX + 1 57244 KachelY + 1 9405 2.34660711 1.35865711 134.450684 77.845318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35867729-1.35865711) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35867729-1.35865711) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34651124-2.34660711) × cos(1.35867729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210531913764594 × 6371000     		do = 128.590318122106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34651124-2.34660711) × cos(1.35865711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210551641427083 × 6371000     		du = 128.602367537085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35867729)-sin(1.35865711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210531913764594-0.210551641427083)×R²
    abs(2.34660711-2.34651124)×1.97276624886444e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97276624886444e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97276624886444e-05×40589641000000     		ar = 16533.217717953m²