Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57243 / 17961
↖ ↑ ↗
← N 78.326648°
W 22.777405°		 ← 61.80 m → N 78.326648°
W 22.774658°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.326092°
W 22.777405°		 ← 61.80 m →
3 819 m²		 N 78.326092°
W 22.774658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436733245849609 y=0.137035369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436733245849609 × 217)
    floor (0.436733245849609 × 131072)
    floor (57243.5)     		tx = 57243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137035369873047 × 217)
    floor (0.137035369873047 × 131072)
    floor (17961.5)     		ty = 17961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57243 / 17961 ti = "17/57243/17961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57243/17961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57243 ÷ 217
    57243 ÷ 131072     		x = 0.436729431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17961 ÷ 217
    17961 ÷ 131072     		y = 0.137031555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436729431152344 × 2 - 1) × π
    -0.126541137695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.39754071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137031555175781 × 2 - 1) × π
    0.725936889648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.28059799942417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39754071} λ = -0.39754071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28059799942417))-π/2
    2×atan(9.78252860721926)-π/2
    2×1.4689271135931-π/2
    2.9378542271862-1.57079632675     		φ = 1.36705790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39754071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.777405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36705790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.326648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57243 KachelY 17961 -0.39754071 1.36705790 -22.777405 78.326648
    Oben rechts KachelX + 1 57244 KachelY 17961 -0.39749277 1.36705790 -22.774658 78.326648
    Unten links KachelX 57243 KachelY + 1 17962 -0.39754071 1.36704820 -22.777405 78.326092
    Unten rechts KachelX + 1 57244 KachelY + 1 17962 -0.39749277 1.36704820 -22.774658 78.326092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36705790-1.36704820) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dl = 61.7987000007161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36705790-1.36704820) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dr = 61.7987000007161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39754071--0.39749277) × cos(1.36705790) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.202331841132825 × 6371000     		do = 61.7973523035864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39754071--0.39749277) × cos(1.36704820) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.202341340498402 × 6371000     		du = 61.8002536543474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36705790)-sin(1.36704820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202331841132825-0.202341340498402)×R²
    abs(-0.39749277--0.39754071)×9.4993655772313e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.4993655772313e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.4993655772313e-06×40589641000000     		ar = 3819.08568565372m²