Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57241 / 81033
↖ ↑ ↗
← S 39.115145°
W 22.782898°		 ← 236.92 m → S 39.115145°
W 22.780152°		 →
↑
237 m
↓
↑
237 m
↓
S 39.117276°
W 22.782898°		 ← 236.92 m →
56 150 m²		 S 39.117276°
W 22.780152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436717987060547 y=0.618236541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436717987060547 × 217)
    floor (0.436717987060547 × 131072)
    floor (57241.5)     		tx = 57241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618236541748047 × 217)
    floor (0.618236541748047 × 131072)
    floor (81033.5)     		ty = 81033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57241 / 81033 ti = "17/57241/81033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57241/81033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57241 ÷ 217
    57241 ÷ 131072     		x = 0.436714172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81033 ÷ 217
    81033 ÷ 131072     		y = 0.618232727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436714172363281 × 2 - 1) × π
    -0.126571655273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39763658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618232727050781 × 2 - 1) × π
    -0.236465454101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.74287813341201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39763658} λ = -0.39763658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74287813341201))-π/2
    2×atan(0.475742692247759)-π/2
    2×0.444054132193314-π/2
    0.888108264386628-1.57079632675     		φ = -0.68268806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39763658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.782898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68268806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.115145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57241 KachelY 81033 -0.39763658 -0.68268806 -22.782898 -39.115145
    Oben rechts KachelX + 1 57242 KachelY 81033 -0.39758865 -0.68268806 -22.780152 -39.115145
    Unten links KachelX 57241 KachelY + 1 81034 -0.39763658 -0.68272526 -22.782898 -39.117276
    Unten rechts KachelX + 1 57242 KachelY + 1 81034 -0.39758865 -0.68272526 -22.780152 -39.117276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68268806--0.68272526) × R
    3.71999999999595e-05 × 6371000     		dl = 237.001199999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68268806--0.68272526) × R
    3.71999999999595e-05 × 6371000     		dr = 237.001199999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39763658--0.39758865) × cos(-0.68268806) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775879678171389 × 6371000     		do = 236.924193562307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39763658--0.39758865) × cos(-0.68272526) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775856208864625 × 6371000     		du = 236.917026927151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68268806)-sin(-0.68272526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775879678171389-0.775856208864625)×R²
    abs(-0.39758865--0.39763658)×2.34693067640013e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34693067640013e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34693067640013e-05×40589641000000     		ar = 56150.4689390095m²