Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57238 / 42345
↖ ↑ ↗
← N 53.577831°
W 22.791138°		 ← 181.30 m → N 53.577831°
W 22.788391°		 →
↑
181.32 m
↓
↑
181.32 m
↓
N 53.576200°
W 22.791138°		 ← 181.31 m →
32 874 m²		 N 53.576200°
W 22.788391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436695098876953 y=0.323070526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436695098876953 × 217)
    floor (0.436695098876953 × 131072)
    floor (57238.5)     		tx = 57238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323070526123047 × 217)
    floor (0.323070526123047 × 131072)
    floor (42345.5)     		ty = 42345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57238 / 42345 ti = "17/57238/42345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57238/42345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57238 ÷ 217
    57238 ÷ 131072     		x = 0.436691284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42345 ÷ 217
    42345 ÷ 131072     		y = 0.323066711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436691284179688 × 2 - 1) × π
    -0.126617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39778039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323066711425781 × 2 - 1) × π
    0.353866577148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.11170463908872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39778039} λ = -0.39778039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11170463908872))-π/2
    2×atan(3.03953529148097)-π/2
    2×1.25295294012372-π/2
    2.50590588024745-1.57079632675     		φ = 0.93510955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39778039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.791138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93510955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.577831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57238 KachelY 42345 -0.39778039 0.93510955 -22.791138 53.577831
    Oben rechts KachelX + 1 57239 KachelY 42345 -0.39773246 0.93510955 -22.788391 53.577831
    Unten links KachelX 57238 KachelY + 1 42346 -0.39778039 0.93508109 -22.791138 53.576200
    Unten rechts KachelX + 1 57239 KachelY + 1 42346 -0.39773246 0.93508109 -22.788391 53.576200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93510955-0.93508109) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dl = 181.31866000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93510955-0.93508109) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dr = 181.31866000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39778039--0.39773246) × cos(0.93510955) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593730278981966 × 6371000     		do = 181.3026832623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39778039--0.39773246) × cos(0.93508109) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593753179482539 × 6371000     		du = 181.309676205643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93510955)-sin(0.93508109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593730278981966-0.593753179482539)×R²
    abs(-0.39773246--0.39778039)×2.29005005731864e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29005005731864e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29005005731864e-05×40589641000000     		ar = 32874.1935613584m²