Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57234 / 81156
↖ ↑ ↗
← S 39.376772°
W 22.802124°		 ← 236.09 m → S 39.376772°
W 22.799377°		 →
↑
236.05 m
↓
↑
236.05 m
↓
S 39.378895°
W 22.802124°		 ← 236.08 m →
55 727 m²		 S 39.378895°
W 22.799377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436664581298828 y=0.619174957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436664581298828 × 217)
    floor (0.436664581298828 × 131072)
    floor (57234.5)     		tx = 57234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619174957275391 × 217)
    floor (0.619174957275391 × 131072)
    floor (81156.5)     		ty = 81156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57234 / 81156 ti = "17/57234/81156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57234/81156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57234 ÷ 217
    57234 ÷ 131072     		x = 0.436660766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81156 ÷ 217
    81156 ÷ 131072     		y = 0.619171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436660766601562 × 2 - 1) × π
    -0.126678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39797214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.23834228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.748774372065277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39797214} λ = -0.39797214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748774372065277))-π/2
    2×atan(0.472945853314449)-π/2
    2×0.441771003331692-π/2
    0.883542006663383-1.57079632675     		φ = -0.68725432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39797214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.802124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68725432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.376772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57234 KachelY 81156 -0.39797214 -0.68725432 -22.802124 -39.376772
    Oben rechts KachelX + 1 57235 KachelY 81156 -0.39792420 -0.68725432 -22.799377 -39.376772
    Unten links KachelX 57234 KachelY + 1 81157 -0.39797214 -0.68729137 -22.802124 -39.378895
    Unten rechts KachelX + 1 57235 KachelY + 1 81157 -0.39792420 -0.68729137 -22.799377 -39.378895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68725432--0.68729137) × R
    3.70499999999829e-05 × 6371000     		dl = 236.045549999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68725432--0.68729137) × R
    3.70499999999829e-05 × 6371000     		dr = 236.045549999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39797214--0.39792420) × cos(-0.68725432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77299083309468 × 6371000     		do = 236.091297211004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39797214--0.39792420) × cos(-0.68729137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772967327407224 × 6371000     		du = 236.084117969019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68725432)-sin(-0.68729137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77299083309468-0.772967327407224)×R²
    abs(-0.39792420--0.39797214)×2.35056874561268e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35056874561268e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35056874561268e-05×40589641000000     		ar = 55727.4527926429m²