Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57232 / 81012
↖ ↑ ↗
← S 39.070379°
W 22.807617°		 ← 237.07 m → S 39.070379°
W 22.804871°		 →
↑
237.06 m
↓
↑
237.06 m
↓
S 39.072511°
W 22.807617°		 ← 237.07 m →
56 201 m²		 S 39.072511°
W 22.804871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436649322509766 y=0.618076324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436649322509766 × 217)
    floor (0.436649322509766 × 131072)
    floor (57232.5)     		tx = 57232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618076324462891 × 217)
    floor (0.618076324462891 × 131072)
    floor (81012.5)     		ty = 81012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57232 / 81012 ti = "17/57232/81012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57232/81012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57232 ÷ 217
    57232 ÷ 131072     		x = 0.4366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81012 ÷ 217
    81012 ÷ 131072     		y = 0.618072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39806801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.23614501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.741871458519989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39806801} λ = -0.39806801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741871458519989))-π/2
    2×atan(0.476221851609492)-π/2
    2×0.4444447854857-π/2
    0.888889570971401-1.57079632675     		φ = -0.68190676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39806801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.807617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68190676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.070379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57232 KachelY 81012 -0.39806801 -0.68190676 -22.807617 -39.070379
    Oben rechts KachelX + 1 57233 KachelY 81012 -0.39802008 -0.68190676 -22.804871 -39.070379
    Unten links KachelX 57232 KachelY + 1 81013 -0.39806801 -0.68194397 -22.807617 -39.072511
    Unten rechts KachelX + 1 57233 KachelY + 1 81013 -0.39802008 -0.68194397 -22.804871 -39.072511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68190676--0.68194397) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dl = 237.064910000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68190676--0.68194397) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dr = 237.064910000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39806801--0.39802008) × cos(-0.68190676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.776372348567726 × 6371000     		do = 237.074636394653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39806801--0.39802008) × cos(-0.68194397) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.776348895515194 × 6371000     		du = 237.067474722923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68190676)-sin(-0.68194397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776372348567726-0.776348895515194)×R²
    abs(-0.39802008--0.39806801)×2.34530525319299e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34530525319299e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34530525319299e-05×40589641000000     		ar = 56201.2284563205m²