Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57232 / 29904
↖ ↑ ↗
← N 69.457554°
W 22.807617°		 ← 107.15 m → N 69.457554°
W 22.804871°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
N 69.456590°
W 22.807617°		 ← 107.16 m →
11 483 m²		 N 69.456590°
W 22.804871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436649322509766 y=0.228153228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436649322509766 × 217)
    floor (0.436649322509766 × 131072)
    floor (57232.5)     		tx = 57232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228153228759766 × 217)
    floor (0.228153228759766 × 131072)
    floor (29904.5)     		ty = 29904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57232 / 29904 ti = "17/57232/29904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57232/29904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57232 ÷ 217
    57232 ÷ 131072     		x = 0.4366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29904 ÷ 217
    29904 ÷ 131072     		y = 0.2281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39806801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2281494140625 × 2 - 1) × π
    0.543701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70808760726184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39806801} λ = -0.39806801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70808760726184))-π/2
    2×atan(5.51839803578879)-π/2
    2×1.39152966387043-π/2
    2.78305932774087-1.57079632675     		φ = 1.21226300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39806801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.807617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21226300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.457554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57232 KachelY 29904 -0.39806801 1.21226300 -22.807617 69.457554
    Oben rechts KachelX + 1 57233 KachelY 29904 -0.39802008 1.21226300 -22.804871 69.457554
    Unten links KachelX 57232 KachelY + 1 29905 -0.39806801 1.21224618 -22.807617 69.456590
    Unten rechts KachelX + 1 57233 KachelY + 1 29905 -0.39802008 1.21224618 -22.804871 69.456590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21226300-1.21224618) × R
    1.68200000001395e-05 × 6371000     		dl = 107.160220000889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21226300-1.21224618) × R
    1.68200000001395e-05 × 6371000     		dr = 107.160220000889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39806801--0.39802008) × cos(1.21226300) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350901200079368 × 6371000     		do = 107.151902785737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39806801--0.39802008) × cos(1.21224618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350916950487779 × 6371000     		du = 107.156712362423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21226300)-sin(1.21224618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350901200079368-0.350916950487779)×R²
    abs(-0.39802008--0.39806801)×1.57504084112858e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57504084112858e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57504084112858e-05×40589641000000     		ar = 11482.6791739435m²