Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57231 / 81013
↖ ↑ ↗
← S 39.072511°
W 22.810364°		 ← 237.12 m → S 39.072511°
W 22.807617°		 →
↑
237.13 m
↓
↑
237.13 m
↓
S 39.074644°
W 22.810364°		 ← 237.11 m →
56 226 m²		 S 39.074644°
W 22.807617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436641693115234 y=0.618083953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436641693115234 × 217)
    floor (0.436641693115234 × 131072)
    floor (57231.5)     		tx = 57231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618083953857422 × 217)
    floor (0.618083953857422 × 131072)
    floor (81013.5)     		ty = 81013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57231 / 81013 ti = "17/57231/81013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57231/81013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57231 ÷ 217
    57231 ÷ 131072     		x = 0.436637878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81013 ÷ 217
    81013 ÷ 131072     		y = 0.618080139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436637878417969 × 2 - 1) × π
    -0.126724243164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39811595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618080139160156 × 2 - 1) × π
    -0.236160278320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.741919395419609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39811595} λ = -0.39811595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741919395419609))-π/2
    2×atan(0.476199023557551)-π/2
    2×0.44442617732508-π/2
    0.888852354650161-1.57079632675     		φ = -0.68194397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39811595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.810364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68194397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.072511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57231 KachelY 81013 -0.39811595 -0.68194397 -22.810364 -39.072511
    Oben rechts KachelX + 1 57232 KachelY 81013 -0.39806801 -0.68194397 -22.807617 -39.072511
    Unten links KachelX 57231 KachelY + 1 81014 -0.39811595 -0.68198119 -22.810364 -39.074644
    Unten rechts KachelX + 1 57232 KachelY + 1 81014 -0.39806801 -0.68198119 -22.807617 -39.074644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68194397--0.68198119) × R
    3.722000000006e-05 × 6371000     		dl = 237.128620000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68194397--0.68198119) × R
    3.722000000006e-05 × 6371000     		dr = 237.128620000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39811595--0.39806801) × cos(-0.68194397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776348895515194 × 6371000     		do = 237.116935910755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39811595--0.39806801) × cos(-0.68198119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776325435084418 × 6371000     		du = 237.109770491325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68194397)-sin(-0.68198119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776348895515194-0.776325435084418)×R²
    abs(-0.39806801--0.39811595)×2.34604307753905e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34604307753905e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34604307753905e-05×40589641000000     		ar = 56226.3622347081m²