Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57231 / 38833
↖ ↑ ↗
← N 58.925917°
W 22.810364°		 ← 157.64 m → N 58.925917°
W 22.807617°		 →
↑
157.62 m
↓
↑
157.62 m
↓
N 58.924499°
W 22.810364°		 ← 157.65 m →
24 848 m²		 N 58.924499°
W 22.807617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436641693115234 y=0.296276092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436641693115234 × 217)
    floor (0.436641693115234 × 131072)
    floor (57231.5)     		tx = 57231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296276092529297 × 217)
    floor (0.296276092529297 × 131072)
    floor (38833.5)     		ty = 38833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57231 / 38833 ti = "17/57231/38833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57231/38833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57231 ÷ 217
    57231 ÷ 131072     		x = 0.436637878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38833 ÷ 217
    38833 ÷ 131072     		y = 0.296272277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436637878417969 × 2 - 1) × π
    -0.126724243164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39811595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296272277832031 × 2 - 1) × π
    0.407455444335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.28005903055436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39811595} λ = -0.39811595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28005903055436))-π/2
    2×atan(3.59685204347267)-π/2
    2×1.29962379493483-π/2
    2.59924758986967-1.57079632675     		φ = 1.02845126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39811595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.810364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02845126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.925917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57231 KachelY 38833 -0.39811595 1.02845126 -22.810364 58.925917
    Oben rechts KachelX + 1 57232 KachelY 38833 -0.39806801 1.02845126 -22.807617 58.925917
    Unten links KachelX 57231 KachelY + 1 38834 -0.39811595 1.02842652 -22.810364 58.924499
    Unten rechts KachelX + 1 57232 KachelY + 1 38834 -0.39806801 1.02842652 -22.807617 58.924499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02845126-1.02842652) × R
    2.47399999999676e-05 × 6371000     		dl = 157.618539999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02845126-1.02842652) × R
    2.47399999999676e-05 × 6371000     		dr = 157.618539999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39811595--0.39806801) × cos(1.02845126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.516145960254707 × 6371000     		do = 157.644261858701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39811595--0.39806801) × cos(1.02842652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.516167149922601 × 6371000     		du = 157.650733728698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02845126)-sin(1.02842652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516145960254707-0.516167149922601)×R²
    abs(-0.39806801--0.39811595)×2.11896678934398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11896678934398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11896678934398e-05×40589641000000     		ar = 24848.1684381619m²