Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57230 / 42346
↖ ↑ ↗
← N 53.576200°
W 22.813110°		 ← 181.35 m → N 53.576200°
W 22.810364°		 →
↑
181.32 m
↓
↑
181.32 m
↓
N 53.574569°
W 22.813110°		 ← 181.35 m →
32 882 m²		 N 53.574569°
W 22.810364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436634063720703 y=0.323078155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436634063720703 × 217)
    floor (0.436634063720703 × 131072)
    floor (57230.5)     		tx = 57230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323078155517578 × 217)
    floor (0.323078155517578 × 131072)
    floor (42346.5)     		ty = 42346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57230 / 42346 ti = "17/57230/42346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57230/42346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57230 ÷ 217
    57230 ÷ 131072     		x = 0.436630249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42346 ÷ 217
    42346 ÷ 131072     		y = 0.323074340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436630249023438 × 2 - 1) × π
    -0.126739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39816389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323074340820312 × 2 - 1) × π
    0.353851318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1116567021891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39816389} λ = -0.39816389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1116567021891))-π/2
    2×atan(3.0393895890751)-π/2
    2×1.25293870905493-π/2
    2.50587741810987-1.57079632675     		φ = 0.93508109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39816389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.813110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93508109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.576200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57230 KachelY 42346 -0.39816389 0.93508109 -22.813110 53.576200
    Oben rechts KachelX + 1 57231 KachelY 42346 -0.39811595 0.93508109 -22.810364 53.576200
    Unten links KachelX 57230 KachelY + 1 42347 -0.39816389 0.93505263 -22.813110 53.574569
    Unten rechts KachelX + 1 57231 KachelY + 1 42347 -0.39811595 0.93505263 -22.810364 53.574569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93508109-0.93505263) × R
    2.84599999998969e-05 × 6371000     		dl = 181.318659999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93508109-0.93505263) × R
    2.84599999998969e-05 × 6371000     		dr = 181.318659999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39816389--0.39811595) × cos(0.93508109) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593753179482539 × 6371000     		do = 181.347504220898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39816389--0.39811595) × cos(0.93505263) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593776079502189 × 6371000     		du = 181.354498476346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93508109)-sin(0.93505263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593753179482539-0.593776079502189)×R²
    abs(-0.39811595--0.39816389)×2.29000196498852e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29000196498852e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29000196498852e-05×40589641000000     		ar = 32882.3205563199m²