Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57229 / 38313
↖ ↑ ↗
← N 59.655255°
W 22.815857°		 ← 154.30 m → N 59.655255°
W 22.813110°		 →
↑
154.31 m
↓
↑
154.31 m
↓
N 59.653867°
W 22.815857°		 ← 154.31 m →
23 810 m²		 N 59.653867°
W 22.813110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436626434326172 y=0.292308807373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436626434326172 × 217)
    floor (0.436626434326172 × 131072)
    floor (57229.5)     		tx = 57229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292308807373047 × 217)
    floor (0.292308807373047 × 131072)
    floor (38313.5)     		ty = 38313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57229 / 38313 ti = "17/57229/38313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57229/38313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57229 ÷ 217
    57229 ÷ 131072     		x = 0.436622619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38313 ÷ 217
    38313 ÷ 131072     		y = 0.292304992675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436622619628906 × 2 - 1) × π
    -0.126754760742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.39821183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292304992675781 × 2 - 1) × π
    0.415390014648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.30498621835679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39821183} λ = -0.39821183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30498621835679))-π/2
    2×atan(3.68763827163986)-π/2
    2×1.30598846873911-π/2
    2.61197693747822-1.57079632675     		φ = 1.04118061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39821183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.815857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04118061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.655255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57229 KachelY 38313 -0.39821183 1.04118061 -22.815857 59.655255
    Oben rechts KachelX + 1 57230 KachelY 38313 -0.39816389 1.04118061 -22.813110 59.655255
    Unten links KachelX 57229 KachelY + 1 38314 -0.39821183 1.04115639 -22.815857 59.653867
    Unten rechts KachelX + 1 57230 KachelY + 1 38314 -0.39816389 1.04115639 -22.813110 59.653867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04118061-1.04115639) × R
    2.42200000000192e-05 × 6371000     		dl = 154.305620000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04118061-1.04115639) × R
    2.42200000000192e-05 × 6371000     		dr = 154.305620000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39821183--0.39816389) × cos(1.04118061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.505201741619605 × 6371000     		do = 154.301615783355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39821183--0.39816389) × cos(1.04115639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5052226433623 × 6371000     		du = 154.307999713585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04118061)-sin(1.04115639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505201741619605-0.5052226433623)×R²
    abs(-0.39816389--0.39821183)×2.09017426953118e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09017426953118e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09017426953118e-05×40589641000000     		ar = 23810.0990299079m²