Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57228 / 38842
↖ ↑ ↗
← N 58.913156°
W 22.818603°		 ← 157.67 m → N 58.913156°
W 22.815857°		 →
↑
157.68 m
↓
↑
157.68 m
↓
N 58.911738°
W 22.818603°		 ← 157.68 m →
24 862 m²		 N 58.911738°
W 22.815857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436618804931641 y=0.296344757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436618804931641 × 217)
    floor (0.436618804931641 × 131072)
    floor (57228.5)     		tx = 57228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296344757080078 × 217)
    floor (0.296344757080078 × 131072)
    floor (38842.5)     		ty = 38842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57228 / 38842 ti = "17/57228/38842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57228/38842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57228 ÷ 217
    57228 ÷ 131072     		x = 0.436614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38842 ÷ 217
    38842 ÷ 131072     		y = 0.296340942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.12677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39825976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296340942382812 × 2 - 1) × π
    0.407318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27962759845778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39825976} λ = -0.39825976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27962759845778))-π/2
    2×atan(3.59530058075394)-π/2
    2×1.29951243339544-π/2
    2.59902486679088-1.57079632675     		φ = 1.02822854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39825976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.818603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02822854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.913156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57228 KachelY 38842 -0.39825976 1.02822854 -22.818603 58.913156
    Oben rechts KachelX + 1 57229 KachelY 38842 -0.39821183 1.02822854 -22.815857 58.913156
    Unten links KachelX 57228 KachelY + 1 38843 -0.39825976 1.02820379 -22.818603 58.911738
    Unten rechts KachelX + 1 57229 KachelY + 1 38843 -0.39821183 1.02820379 -22.815857 58.911738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02822854-1.02820379) × R
    2.47499999999068e-05 × 6371000     		dl = 157.682249999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02822854-1.02820379) × R
    2.47499999999068e-05 × 6371000     		dr = 157.682249999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39825976--0.39821183) × cos(1.02822854) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.516336707274349 × 6371000     		do = 157.669625096907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39825976--0.39821183) × cos(1.02820379) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.516357902661375 × 6371000     		du = 157.676097363316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02822854)-sin(1.02820379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516336707274349-0.516357902661375)×R²
    abs(-0.39821183--0.39825976)×2.11953870261627e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.11953870261627e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.11953870261627e-05×40589641000000     		ar = 24862.2115237326m²