Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57228 / 30041
↖ ↑ ↗
← N 69.325109°
W 22.818603°		 ← 107.81 m → N 69.325109°
W 22.815857°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
N 69.324139°
W 22.818603°		 ← 107.82 m →
11 629 m²		 N 69.324139°
W 22.815857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436618804931641 y=0.229198455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436618804931641 × 217)
    floor (0.436618804931641 × 131072)
    floor (57228.5)     		tx = 57228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229198455810547 × 217)
    floor (0.229198455810547 × 131072)
    floor (30041.5)     		ty = 30041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57228 / 30041 ti = "17/57228/30041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57228/30041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57228 ÷ 217
    57228 ÷ 131072     		x = 0.436614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30041 ÷ 217
    30041 ÷ 131072     		y = 0.229194641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.12677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39825976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229194641113281 × 2 - 1) × π
    0.541610717773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.70152025201389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39825976} λ = -0.39825976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70152025201389))-π/2
    2×atan(5.4822755000812)-π/2
    2×1.39037386819239-π/2
    2.78074773638478-1.57079632675     		φ = 1.20995141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39825976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.818603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20995141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.325109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57228 KachelY 30041 -0.39825976 1.20995141 -22.818603 69.325109
    Oben rechts KachelX + 1 57229 KachelY 30041 -0.39821183 1.20995141 -22.815857 69.325109
    Unten links KachelX 57228 KachelY + 1 30042 -0.39825976 1.20993448 -22.818603 69.324139
    Unten rechts KachelX + 1 57229 KachelY + 1 30042 -0.39821183 1.20993448 -22.815857 69.324139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20995141-1.20993448) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dl = 107.861029999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20995141-1.20993448) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dr = 107.861029999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39825976--0.39821183) × cos(1.20995141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353064862384091 × 6371000     		do = 107.812603099343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39825976--0.39821183) × cos(1.20993448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353080702021975 × 6371000     		du = 107.817439923321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20995141)-sin(1.20993448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353064862384091-0.353080702021975)×R²
    abs(-0.39821183--0.39825976)×1.58396378842629e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58396378842629e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58396378842629e-05×40589641000000     		ar = 11629.0392700444m²