Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57226 / 30042
↖ ↑ ↗
← N 69.324139°
W 22.824097°		 ← 107.84 m → N 69.324139°
W 22.821350°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
N 69.323170°
W 22.824097°		 ← 107.84 m →
11 625 m²		 N 69.323170°
W 22.821350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436603546142578 y=0.229206085205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436603546142578 × 217)
    floor (0.436603546142578 × 131072)
    floor (57226.5)     		tx = 57226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229206085205078 × 217)
    floor (0.229206085205078 × 131072)
    floor (30042.5)     		ty = 30042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57226 / 30042 ti = "17/57226/30042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57226/30042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57226 ÷ 217
    57226 ÷ 131072     		x = 0.436599731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30042 ÷ 217
    30042 ÷ 131072     		y = 0.229202270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436599731445312 × 2 - 1) × π
    -0.126800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39835564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229202270507812 × 2 - 1) × π
    0.541595458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70147231511427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39835564} λ = -0.39835564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70147231511427))-π/2
    2×atan(5.48201270308975)-π/2
    2×1.39036540558518-π/2
    2.78073081117035-1.57079632675     		φ = 1.20993448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39835564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.824097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20993448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.324139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57226 KachelY 30042 -0.39835564 1.20993448 -22.824097 69.324139
    Oben rechts KachelX + 1 57227 KachelY 30042 -0.39830770 1.20993448 -22.821350 69.324139
    Unten links KachelX 57226 KachelY + 1 30043 -0.39835564 1.20991756 -22.824097 69.323170
    Unten rechts KachelX + 1 57227 KachelY + 1 30043 -0.39830770 1.20991756 -22.821350 69.323170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20993448-1.20991756) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20993448-1.20991756) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39835564--0.39830770) × cos(1.20993448) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.353080702021975 × 6371000     		do = 107.839934694835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39835564--0.39830770) × cos(1.20991756) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.353096532202789 × 6371000     		du = 107.844769639525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20993448)-sin(1.20991756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353080702021975-0.353096532202789)×R²
    abs(-0.39830770--0.39835564)×1.58301808136918e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58301808136918e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58301808136918e-05×40589641000000     		ar = 11625.1165462923m²