Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57225 / 81065
↖ ↑ ↗
← S 39.183304°
W 22.826843°		 ← 236.69 m → S 39.183304°
W 22.824097°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
S 39.185433°
W 22.826843°		 ← 236.69 m →
56 036 m²		 S 39.185433°
W 22.824097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436595916748047 y=0.618480682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436595916748047 × 217)
    floor (0.436595916748047 × 131072)
    floor (57225.5)     		tx = 57225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618480682373047 × 217)
    floor (0.618480682373047 × 131072)
    floor (81065.5)     		ty = 81065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57225 / 81065 ti = "17/57225/81065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57225/81065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57225 ÷ 217
    57225 ÷ 131072     		x = 0.436592102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81065 ÷ 217
    81065 ÷ 131072     		y = 0.618476867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436592102050781 × 2 - 1) × π
    -0.126815795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39840357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618476867675781 × 2 - 1) × π
    -0.236953735351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.744412114199852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39840357} λ = -0.39840357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744412114199852))-π/2
    2×atan(0.475013471546161)-π/2
    2×0.443459327934946-π/2
    0.886918655869892-1.57079632675     		φ = -0.68387767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39840357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.826843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68387767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.183304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57225 KachelY 81065 -0.39840357 -0.68387767 -22.826843 -39.183304
    Oben rechts KachelX + 1 57226 KachelY 81065 -0.39835564 -0.68387767 -22.824097 -39.183304
    Unten links KachelX 57225 KachelY + 1 81066 -0.39840357 -0.68391483 -22.826843 -39.185433
    Unten rechts KachelX + 1 57226 KachelY + 1 81066 -0.39835564 -0.68391483 -22.824097 -39.185433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68387767--0.68391483) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dl = 236.746359999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68387767--0.68391483) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dr = 236.746359999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39840357--0.39835564) × cos(-0.68387767) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.775128627105283 × 6371000     		do = 236.694851083853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39840357--0.39835564) × cos(-0.68391483) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.775105148753559 × 6371000     		du = 236.687681686709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68387767)-sin(-0.68391483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775128627105283-0.775105148753559)×R²
    abs(-0.39835564--0.39840357)×2.34783517240045e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34783517240045e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34783517240045e-05×40589641000000     		ar = 56035.7957670364m²