Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57225 / 45266
↖ ↑ ↗
← N 48.542069°
W 22.826843°		 ← 202.17 m → N 48.542069°
W 22.824097°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
N 48.540250°
W 22.826843°		 ← 202.18 m →
40 883 m²		 N 48.540250°
W 22.824097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436595916748047 y=0.345355987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436595916748047 × 217)
    floor (0.436595916748047 × 131072)
    floor (57225.5)     		tx = 57225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345355987548828 × 217)
    floor (0.345355987548828 × 131072)
    floor (45266.5)     		ty = 45266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57225 / 45266 ti = "17/57225/45266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57225/45266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57225 ÷ 217
    57225 ÷ 131072     		x = 0.436592102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45266 ÷ 217
    45266 ÷ 131072     		y = 0.345352172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436592102050781 × 2 - 1) × π
    -0.126815795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39840357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345352172851562 × 2 - 1) × π
    0.309295654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.971680955298538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39840357} λ = -0.39840357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971680955298538))-π/2
    2×atan(2.64238245506155)-π/2
    2×1.20900762621547-π/2
    2.41801525243094-1.57079632675     		φ = 0.84721893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39840357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.826843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84721893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.542069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57225 KachelY 45266 -0.39840357 0.84721893 -22.826843 48.542069
    Oben rechts KachelX + 1 57226 KachelY 45266 -0.39835564 0.84721893 -22.824097 48.542069
    Unten links KachelX 57225 KachelY + 1 45267 -0.39840357 0.84718719 -22.826843 48.540250
    Unten rechts KachelX + 1 57226 KachelY + 1 45267 -0.39835564 0.84718719 -22.824097 48.540250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84721893-0.84718719) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dl = 202.215540000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84721893-0.84718719) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dr = 202.215540000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39840357--0.39835564) × cos(0.84721893) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662069954319204 × 6371000     		do = 202.171025252809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39840357--0.39835564) × cos(0.84718719) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662093741276147 × 6371000     		du = 202.178288886268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84721893)-sin(0.84718719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662069954319204-0.662093741276147)×R²
    abs(-0.39835564--0.39840357)×2.37869569421623e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37869569421623e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37869569421623e-05×40589641000000     		ar = 40882.857457051m²