Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57224 / 45253
↖ ↑ ↗
← N 48.565703°
W 22.829590°		 ← 202.12 m → N 48.565703°
W 22.826843°		 →
↑
202.15 m
↓
↑
202.15 m
↓
N 48.563885°
W 22.829590°		 ← 202.13 m →
40 859 m²		 N 48.563885°
W 22.826843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436588287353516 y=0.345256805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436588287353516 × 217)
    floor (0.436588287353516 × 131072)
    floor (57224.5)     		tx = 57224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345256805419922 × 217)
    floor (0.345256805419922 × 131072)
    floor (45253.5)     		ty = 45253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57224 / 45253 ti = "17/57224/45253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57224/45253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57224 ÷ 217
    57224 ÷ 131072     		x = 0.43658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45253 ÷ 217
    45253 ÷ 131072     		y = 0.345252990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39845151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345252990722656 × 2 - 1) × π
    0.309494018554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.972304134993599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39845151} λ = -0.39845151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972304134993599))-π/2
    2×atan(2.64402964734921)-π/2
    2×1.20921387232072-π/2
    2.41842774464144-1.57079632675     		φ = 0.84763142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39845151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.829590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84763142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.565703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57224 KachelY 45253 -0.39845151 0.84763142 -22.829590 48.565703
    Oben rechts KachelX + 1 57225 KachelY 45253 -0.39840357 0.84763142 -22.826843 48.565703
    Unten links KachelX 57224 KachelY + 1 45254 -0.39845151 0.84759969 -22.829590 48.563885
    Unten rechts KachelX + 1 57225 KachelY + 1 45254 -0.39840357 0.84759969 -22.826843 48.563885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84763142-0.84759969) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dl = 202.151830000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84763142-0.84759969) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dr = 202.151830000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39845151--0.39840357) × cos(0.84763142) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661760760654778 × 6371000     		do = 202.11877002605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39845151--0.39840357) × cos(0.84759969) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661784548781018 × 6371000     		du = 202.12603553211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84763142)-sin(0.84759969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661760760654778-0.661784548781018)×R²
    abs(-0.39840357--0.39845151)×2.37881262394879e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37881262394879e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37881262394879e-05×40589641000000     		ar = 40859.4136091554m²