Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57224 / 42344
↖ ↑ ↗
← N 53.579461°
W 22.829590°		 ← 181.33 m → N 53.579461°
W 22.826843°		 →
↑
181.32 m
↓
↑
181.32 m
↓
N 53.577831°
W 22.829590°		 ← 181.34 m →
32 880 m²		 N 53.577831°
W 22.826843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436588287353516 y=0.323062896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436588287353516 × 217)
    floor (0.436588287353516 × 131072)
    floor (57224.5)     		tx = 57224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323062896728516 × 217)
    floor (0.323062896728516 × 131072)
    floor (42344.5)     		ty = 42344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57224 / 42344 ti = "17/57224/42344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57224/42344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57224 ÷ 217
    57224 ÷ 131072     		x = 0.43658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42344 ÷ 217
    42344 ÷ 131072     		y = 0.32305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39845151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32305908203125 × 2 - 1) × π
    0.3538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11175257598834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39845151} λ = -0.39845151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11175257598834))-π/2
    2×atan(3.03968100087153)-π/2
    2×1.25296717064359-π/2
    2.50593434128718-1.57079632675     		φ = 0.93513801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39845151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.829590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93513801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.579461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57224 KachelY 42344 -0.39845151 0.93513801 -22.829590 53.579461
    Oben rechts KachelX + 1 57225 KachelY 42344 -0.39840357 0.93513801 -22.826843 53.579461
    Unten links KachelX 57224 KachelY + 1 42345 -0.39845151 0.93510955 -22.829590 53.577831
    Unten rechts KachelX + 1 57225 KachelY + 1 42345 -0.39840357 0.93510955 -22.826843 53.577831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93513801-0.93510955) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dl = 181.31866000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93513801-0.93510955) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dr = 181.31866000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39845151--0.39840357) × cos(0.93513801) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593707378000488 × 6371000     		do = 181.33351526935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39845151--0.39840357) × cos(0.93510955) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593730278981966 × 6371000     		du = 181.340509818564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93513801)-sin(0.93510955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593707378000488-0.593730278981966)×R²
    abs(-0.39840357--0.39845151)×2.29009814778358e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29009814778358e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29009814778358e-05×40589641000000     		ar = 32879.7841251401m²