Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57221 / 85322
↖ ↑ ↗
← S 47.654288°
W 22.837830°		 ← 205.74 m → S 47.654288°
W 22.835083°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
S 47.656138°
W 22.837830°		 ← 205.73 m →
42 323 m²		 S 47.656138°
W 22.835083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436565399169922 y=0.650959014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436565399169922 × 217)
    floor (0.436565399169922 × 131072)
    floor (57221.5)     		tx = 57221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650959014892578 × 217)
    floor (0.650959014892578 × 131072)
    floor (85322.5)     		ty = 85322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57221 / 85322 ti = "17/57221/85322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57221/85322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57221 ÷ 217
    57221 ÷ 131072     		x = 0.436561584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85322 ÷ 217
    85322 ÷ 131072     		y = 0.650955200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436561584472656 × 2 - 1) × π
    -0.126876831054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39859532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650955200195312 × 2 - 1) × π
    -0.301910400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.948479495882431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39859532} λ = -0.39859532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948479495882431))-π/2
    2×atan(0.387329512059391)-π/2
    2×0.369536050038509-π/2
    0.739072100077019-1.57079632675     		φ = -0.83172423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39859532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.837830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83172423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.654288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57221 KachelY 85322 -0.39859532 -0.83172423 -22.837830 -47.654288
    Oben rechts KachelX + 1 57222 KachelY 85322 -0.39854738 -0.83172423 -22.835083 -47.654288
    Unten links KachelX 57221 KachelY + 1 85323 -0.39859532 -0.83175652 -22.837830 -47.656138
    Unten rechts KachelX + 1 57222 KachelY + 1 85323 -0.39854738 -0.83175652 -22.835083 -47.656138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83172423--0.83175652) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dl = 205.719590000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83172423--0.83175652) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dr = 205.719590000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39859532--0.39854738) × cos(-0.83172423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.673602394101568 × 6371000     		do = 205.735509684108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39859532--0.39854738) × cos(-0.83175652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.673578528407905 × 6371000     		du = 205.72822048696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83172423)-sin(-0.83175652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673602394101568-0.673578528407905)×R²
    abs(-0.39854738--0.39859532)×2.38656936635273e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38656936635273e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38656936635273e-05×40589641000000     		ar = 42323.0749390395m²