Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57221 / 45268
↖ ↑ ↗
← N 48.538432°
W 22.837830°		 ← 202.23 m → N 48.538432°
W 22.835083°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
N 48.536613°
W 22.837830°		 ← 202.24 m →
40 894 m²		 N 48.536613°
W 22.835083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436565399169922 y=0.345371246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436565399169922 × 217)
    floor (0.436565399169922 × 131072)
    floor (57221.5)     		tx = 57221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345371246337891 × 217)
    floor (0.345371246337891 × 131072)
    floor (45268.5)     		ty = 45268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57221 / 45268 ti = "17/57221/45268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57221/45268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57221 ÷ 217
    57221 ÷ 131072     		x = 0.436561584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45268 ÷ 217
    45268 ÷ 131072     		y = 0.345367431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436561584472656 × 2 - 1) × π
    -0.126876831054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39859532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345367431640625 × 2 - 1) × π
    0.30926513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.971585081499298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39859532} λ = -0.39859532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971585081499298))-π/2
    2×atan(2.64212913196025)-π/2
    2×1.20897588749416-π/2
    2.41795177498832-1.57079632675     		φ = 0.84715545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39859532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.837830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84715545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.538432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57221 KachelY 45268 -0.39859532 0.84715545 -22.837830 48.538432
    Oben rechts KachelX + 1 57222 KachelY 45268 -0.39854738 0.84715545 -22.835083 48.538432
    Unten links KachelX 57221 KachelY + 1 45269 -0.39859532 0.84712371 -22.837830 48.536613
    Unten rechts KachelX + 1 57222 KachelY + 1 45269 -0.39854738 0.84712371 -22.835083 48.536613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84715545-0.84712371) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dl = 202.215540000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84715545-0.84712371) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dr = 202.215540000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39859532--0.39854738) × cos(0.84715545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662117527566077 × 6371000     		do = 202.227735823707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39859532--0.39854738) × cos(0.84712371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662141313188973 × 6371000     		du = 202.235000565181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84715545)-sin(0.84712371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662117527566077-0.662141313188973)×R²
    abs(-0.39854738--0.39859532)×2.37856228952893e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37856228952893e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37856228952893e-05×40589641000000     		ar = 40894.3253278631m²