Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57221 / 42125
↖ ↑ ↗
← N 53.935071°
W 22.837830°		 ← 179.80 m → N 53.935071°
W 22.835083°		 →
↑
179.79 m
↓
↑
179.79 m
↓
N 53.933454°
W 22.837830°		 ← 179.81 m →
32 328 m²		 N 53.933454°
W 22.835083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436565399169922 y=0.321392059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436565399169922 × 217)
    floor (0.436565399169922 × 131072)
    floor (57221.5)     		tx = 57221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321392059326172 × 217)
    floor (0.321392059326172 × 131072)
    floor (42125.5)     		ty = 42125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57221 / 42125 ti = "17/57221/42125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57221/42125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57221 ÷ 217
    57221 ÷ 131072     		x = 0.436561584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42125 ÷ 217
    42125 ÷ 131072     		y = 0.321388244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436561584472656 × 2 - 1) × π
    -0.126876831054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39859532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321388244628906 × 2 - 1) × π
    0.357223510742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.12225075700513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39859532} λ = -0.39859532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12225075700513))-π/2
    2×atan(3.0717602143217)-π/2
    2×1.25607044812322-π/2
    2.51214089624643-1.57079632675     		φ = 0.94134457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39859532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.837830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94134457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.935071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57221 KachelY 42125 -0.39859532 0.94134457 -22.837830 53.935071
    Oben rechts KachelX + 1 57222 KachelY 42125 -0.39854738 0.94134457 -22.835083 53.935071
    Unten links KachelX 57221 KachelY + 1 42126 -0.39859532 0.94131635 -22.837830 53.933454
    Unten rechts KachelX + 1 57222 KachelY + 1 42126 -0.39854738 0.94131635 -22.835083 53.933454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94134457-0.94131635) × R
    2.82200000000232e-05 × 6371000     		dl = 179.789620000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94134457-0.94131635) × R
    2.82200000000232e-05 × 6371000     		dr = 179.789620000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39859532--0.39854738) × cos(0.94134457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588701673833695 × 6371000     		do = 179.804644369777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39859532--0.39854738) × cos(0.94131635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588724485247045 × 6371000     		du = 179.81161156258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94134457)-sin(0.94131635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588701673833695-0.588724485247045)×R²
    abs(-0.39854738--0.39859532)×2.28114133503654e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28114133503654e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28114133503654e-05×40589641000000     		ar = 32327.6350019665m²