Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57220 / 42127
↖ ↑ ↗
← N 53.931837°
W 22.840576°		 ← 179.82 m → N 53.931837°
W 22.837830°		 →
↑
179.85 m
↓
↑
179.85 m
↓
N 53.930220°
W 22.840576°		 ← 179.83 m →
32 342 m²		 N 53.930220°
W 22.837830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436557769775391 y=0.321407318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436557769775391 × 217)
    floor (0.436557769775391 × 131072)
    floor (57220.5)     		tx = 57220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321407318115234 × 217)
    floor (0.321407318115234 × 131072)
    floor (42127.5)     		ty = 42127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57220 / 42127 ti = "17/57220/42127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57220/42127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57220 ÷ 217
    57220 ÷ 131072     		x = 0.436553955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42127 ÷ 217
    42127 ÷ 131072     		y = 0.321403503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.12689208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39864326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321403503417969 × 2 - 1) × π
    0.357192993164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.12215488320589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39864326} λ = -0.39864326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12215488320589))-π/2
    2×atan(3.07146572711662)-π/2
    2×1.2560422264966-π/2
    2.51208445299319-1.57079632675     		φ = 0.94128813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39864326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.840576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94128813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.931837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57220 KachelY 42127 -0.39864326 0.94128813 -22.840576 53.931837
    Oben rechts KachelX + 1 57221 KachelY 42127 -0.39859532 0.94128813 -22.837830 53.931837
    Unten links KachelX 57220 KachelY + 1 42128 -0.39864326 0.94125990 -22.840576 53.930220
    Unten rechts KachelX + 1 57221 KachelY + 1 42128 -0.39859532 0.94125990 -22.837830 53.930220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94128813-0.94125990) × R
    2.82299999999625e-05 × 6371000     		dl = 179.853329999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94128813-0.94125990) × R
    2.82299999999625e-05 × 6371000     		dr = 179.853329999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39864326--0.39859532) × cos(0.94128813) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588747296191554 × 6371000     		do = 179.818578612395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39864326--0.39859532) × cos(0.94125990) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588770114750208 × 6371000     		du = 179.825547987558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94128813)-sin(0.94125990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588747296191554-0.588770114750208)×R²
    abs(-0.39859532--0.39864326)×2.28185586544916e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28185586544916e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28185586544916e-05×40589641000000     		ar = 32341.596893974m²