Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57216 / 85632
↖ ↑ ↗
← S 48.224673°
W 22.851562°		 ← 203.44 m → S 48.224673°
W 22.848816°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
S 48.226502°
W 22.851562°		 ← 203.43 m →
41 383 m²		 S 48.226502°
W 22.848816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436527252197266 y=0.653324127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436527252197266 × 217)
    floor (0.436527252197266 × 131072)
    floor (57216.5)     		tx = 57216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653324127197266 × 217)
    floor (0.653324127197266 × 131072)
    floor (85632.5)     		ty = 85632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57216 / 85632 ti = "17/57216/85632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57216/85632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57216 ÷ 217
    57216 ÷ 131072     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85632 ÷ 217
    85632 ÷ 131072     		y = 0.6533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6533203125 × 2 - 1) × π
    -0.306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.963339934764648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963339934764648))-π/2
    2×atan(0.381616181954998)-π/2
    2×0.364558504190935-π/2
    0.72911700838187-1.57079632675     		φ = -0.84167932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84167932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.224673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57216 KachelY 85632 -0.39883500 -0.84167932 -22.851562 -48.224673
    Oben rechts KachelX + 1 57217 KachelY 85632 -0.39878707 -0.84167932 -22.848816 -48.224673
    Unten links KachelX 57216 KachelY + 1 85633 -0.39883500 -0.84171125 -22.851562 -48.226502
    Unten rechts KachelX + 1 57217 KachelY + 1 85633 -0.39878707 -0.84171125 -22.848816 -48.226502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84167932--0.84171125) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84167932--0.84171125) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39878707) × cos(-0.84167932) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.666211391183872 × 6371000     		do = 203.43566282092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39878707) × cos(-0.84171125) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.666187578633173 × 6371000     		du = 203.428391372099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84167932)-sin(-0.84171125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666211391183872-0.666187578633173)×R²
    abs(-0.39878707--0.39883500)×2.38125506989428e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38125506989428e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38125506989428e-05×40589641000000     		ar = 41383.3696505552m²