Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57216 / 81024
↖ ↑ ↗
← S 39.095963°
W 22.851562°		 ← 236.99 m → S 39.095963°
W 22.848816°		 →
↑
237 m
↓
↑
237 m
↓
S 39.098094°
W 22.851562°		 ← 236.98 m →
56 166 m²		 S 39.098094°
W 22.848816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436527252197266 y=0.618167877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436527252197266 × 217)
    floor (0.436527252197266 × 131072)
    floor (57216.5)     		tx = 57216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618167877197266 × 217)
    floor (0.618167877197266 × 131072)
    floor (81024.5)     		ty = 81024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57216 / 81024 ti = "17/57216/81024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57216/81024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57216 ÷ 217
    57216 ÷ 131072     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81024 ÷ 217
    81024 ÷ 131072     		y = 0.6181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6181640625 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.74244670131543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74244670131543))-π/2
    2×atan(0.475947987197139)-π/2
    2×0.444221524667583-π/2
    0.888443049335165-1.57079632675     		φ = -0.68235328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68235328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.095963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57216 KachelY 81024 -0.39883500 -0.68235328 -22.851562 -39.095963
    Oben rechts KachelX + 1 57217 KachelY 81024 -0.39878707 -0.68235328 -22.848816 -39.095963
    Unten links KachelX 57216 KachelY + 1 81025 -0.39883500 -0.68239048 -22.851562 -39.098094
    Unten rechts KachelX + 1 57217 KachelY + 1 81025 -0.39878707 -0.68239048 -22.848816 -39.098094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68235328--0.68239048) × R
    3.72000000000705e-05 × 6371000     		dl = 237.001200000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68235328--0.68239048) × R
    3.72000000000705e-05 × 6371000     		dr = 237.001200000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39878707) × cos(-0.68235328) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.776090840999745 × 6371000     		do = 236.98867467196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39878707) × cos(-0.68239048) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.776067381356813 × 6371000     		du = 236.981510987771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68235328)-sin(-0.68239048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776090840999745-0.776067381356813)×R²
    abs(-0.39878707--0.39883500)×2.34596429323775e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34596429323775e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34596429323775e-05×40589641000000     		ar = 56165.7513892926m²