Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57215 / 42136
↖ ↑ ↗
← N 53.917281°
W 22.854309°		 ← 179.88 m → N 53.917281°
W 22.851562°		 →
↑
179.92 m
↓
↑
179.92 m
↓
N 53.915663°
W 22.854309°		 ← 179.89 m →
32 364 m²		 N 53.915663°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436519622802734 y=0.321475982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436519622802734 × 217)
    floor (0.436519622802734 × 131072)
    floor (57215.5)     		tx = 57215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321475982666016 × 217)
    floor (0.321475982666016 × 131072)
    floor (42136.5)     		ty = 42136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57215 / 42136 ti = "17/57215/42136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57215/42136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57215 ÷ 217
    57215 ÷ 131072     		x = 0.436515808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42136 ÷ 217
    42136 ÷ 131072     		y = 0.32147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436515808105469 × 2 - 1) × π
    -0.126968383789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39888294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32147216796875 × 2 - 1) × π
    0.3570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12172345110931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39888294} λ = -0.39888294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12172345110931))-π/2
    2×atan(3.07014088402886)-π/2
    2×1.25591520210955-π/2
    2.51183040421911-1.57079632675     		φ = 0.94103408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39888294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.854309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94103408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.917281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57215 KachelY 42136 -0.39888294 0.94103408 -22.854309 53.917281
    Oben rechts KachelX + 1 57216 KachelY 42136 -0.39883500 0.94103408 -22.851562 53.917281
    Unten links KachelX 57215 KachelY + 1 42137 -0.39888294 0.94100584 -22.854309 53.915663
    Unten rechts KachelX + 1 57216 KachelY + 1 42137 -0.39883500 0.94100584 -22.851562 53.915663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94103408-0.94100584) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dl = 179.917040000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94103408-0.94100584) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dr = 179.917040000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39888294--0.39883500) × cos(0.94103408) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588952630162995 × 6371000     		do = 179.88129289257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39888294--0.39883500) × cos(0.94100584) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588975452579945 × 6371000     		du = 179.888263446155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94103408)-sin(0.94100584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588952630162995-0.588975452579945)×R²
    abs(-0.39883500--0.39888294)×2.28224169491753e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28224169491753e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28224169491753e-05×40589641000000     		ar = 32364.3368316274m²