Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57215 / 42110
↖ ↑ ↗
← N 53.959317°
W 22.854309°		 ← 179.70 m → N 53.959317°
W 22.851562°		 →
↑
179.66 m
↓
↑
179.66 m
↓
N 53.957702°
W 22.854309°		 ← 179.71 m →
32 286 m²		 N 53.957702°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436519622802734 y=0.321277618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436519622802734 × 217)
    floor (0.436519622802734 × 131072)
    floor (57215.5)     		tx = 57215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321277618408203 × 217)
    floor (0.321277618408203 × 131072)
    floor (42110.5)     		ty = 42110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57215 / 42110 ti = "17/57215/42110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57215/42110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57215 ÷ 217
    57215 ÷ 131072     		x = 0.436515808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42110 ÷ 217
    42110 ÷ 131072     		y = 0.321273803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436515808105469 × 2 - 1) × π
    -0.126968383789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39888294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321273803710938 × 2 - 1) × π
    0.357452392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12296981049944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39888294} λ = -0.39888294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12296981049944))-π/2
    2×atan(3.0739697685361)-π/2
    2×1.25628204061517-π/2
    2.51256408123034-1.57079632675     		φ = 0.94176775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39888294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.854309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94176775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.959317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57215 KachelY 42110 -0.39888294 0.94176775 -22.854309 53.959317
    Oben rechts KachelX + 1 57216 KachelY 42110 -0.39883500 0.94176775 -22.851562 53.959317
    Unten links KachelX 57215 KachelY + 1 42111 -0.39888294 0.94173955 -22.854309 53.957702
    Unten rechts KachelX + 1 57216 KachelY + 1 42111 -0.39883500 0.94173955 -22.851562 53.957702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94176775-0.94173955) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dl = 179.662200000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94176775-0.94173955) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dr = 179.662200000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39888294--0.39883500) × cos(0.94176775) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58835954341674 × 6371000     		do = 179.70014893421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39888294--0.39883500) × cos(0.94173955) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588382345686885 × 6371000     		du = 179.707113334443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94176775)-sin(0.94173955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58835954341674-0.588382345686885)×R²
    abs(-0.39883500--0.39888294)×2.28022701447284e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28022701447284e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28022701447284e-05×40589641000000     		ar = 32285.9497196449m²