Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57214 / 42134
↖ ↑ ↗
← N 53.920516°
W 22.857056°		 ← 179.87 m → N 53.920516°
W 22.854309°		 →
↑
179.85 m
↓
↑
179.85 m
↓
N 53.918899°
W 22.857056°		 ← 179.87 m →
32 350 m²		 N 53.918899°
W 22.854309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436511993408203 y=0.321460723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436511993408203 × 217)
    floor (0.436511993408203 × 131072)
    floor (57214.5)     		tx = 57214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321460723876953 × 217)
    floor (0.321460723876953 × 131072)
    floor (42134.5)     		ty = 42134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57214 / 42134 ti = "17/57214/42134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57214/42134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57214 ÷ 217
    57214 ÷ 131072     		x = 0.436508178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42134 ÷ 217
    42134 ÷ 131072     		y = 0.321456909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436508178710938 × 2 - 1) × π
    -0.126983642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39893088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321456909179688 × 2 - 1) × π
    0.357086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12181932490855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39893088} λ = -0.39893088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12181932490855))-π/2
    2×atan(3.07043524421011)-π/2
    2×1.25594343357902-π/2
    2.51188686715804-1.57079632675     		φ = 0.94109054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39893088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.857056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94109054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.920516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57214 KachelY 42134 -0.39893088 0.94109054 -22.857056 53.920516
    Oben rechts KachelX + 1 57215 KachelY 42134 -0.39888294 0.94109054 -22.854309 53.920516
    Unten links KachelX 57214 KachelY + 1 42135 -0.39893088 0.94106231 -22.857056 53.918899
    Unten rechts KachelX + 1 57215 KachelY + 1 42135 -0.39888294 0.94106231 -22.854309 53.918899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94109054-0.94106231) × R
    2.82300000000735e-05 × 6371000     		dl = 179.853330000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94109054-0.94106231) × R
    2.82300000000735e-05 × 6371000     		dr = 179.853330000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39893088--0.39888294) × cos(0.94109054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588907000084067 × 6371000     		do = 179.867356291738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39893088--0.39888294) × cos(0.94106231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5889298153582 × 6371000     		du = 179.874324663724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94109054)-sin(0.94106231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588907000084067-0.5889298153582)×R²
    abs(-0.39888294--0.39893088)×2.281527413317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.281527413317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.281527413317e-05×40589641000000     		ar = 32350.3696320799m²