Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57214 / 42109
↖ ↑ ↗
← N 53.960934°
W 22.857056°		 ← 179.69 m → N 53.960934°
W 22.854309°		 →
↑
179.73 m
↓
↑
179.73 m
↓
N 53.959317°
W 22.857056°		 ← 179.70 m →
32 296 m²		 N 53.959317°
W 22.854309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436511993408203 y=0.321269989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436511993408203 × 217)
    floor (0.436511993408203 × 131072)
    floor (57214.5)     		tx = 57214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321269989013672 × 217)
    floor (0.321269989013672 × 131072)
    floor (42109.5)     		ty = 42109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57214 / 42109 ti = "17/57214/42109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57214/42109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57214 ÷ 217
    57214 ÷ 131072     		x = 0.436508178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42109 ÷ 217
    42109 ÷ 131072     		y = 0.321266174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436508178710938 × 2 - 1) × π
    -0.126983642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39893088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321266174316406 × 2 - 1) × π
    0.357467651367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.12301774739906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39893088} λ = -0.39893088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12301774739906))-π/2
    2×atan(3.07411712864829)-π/2
    2×1.25629614240796-π/2
    2.51259228481592-1.57079632675     		φ = 0.94179596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39893088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.857056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94179596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.960934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57214 KachelY 42109 -0.39893088 0.94179596 -22.857056 53.960934
    Oben rechts KachelX + 1 57215 KachelY 42109 -0.39888294 0.94179596 -22.854309 53.960934
    Unten links KachelX 57214 KachelY + 1 42110 -0.39893088 0.94176775 -22.857056 53.959317
    Unten rechts KachelX + 1 57215 KachelY + 1 42110 -0.39888294 0.94176775 -22.854309 53.959317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94179596-0.94176775) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dl = 179.725909999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94179596-0.94176775) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dr = 179.725909999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39893088--0.39888294) × cos(0.94179596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588336732592548 × 6371000     		do = 179.693181921143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39893088--0.39888294) × cos(0.94176775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58835954341674 × 6371000     		du = 179.700148934002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94179596)-sin(0.94176775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588336732592548-0.58835954341674)×R²
    abs(-0.39888294--0.39893088)×2.28108241919767e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28108241919767e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28108241919767e-05×40589641000000     		ar = 32296.1467201574m²