Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57213 / 44411
↖ ↑ ↗
← N 50.073007°
W 22.859803°		 ← 196.03 m → N 50.073007°
W 22.857056°		 →
↑
196.04 m
↓
↑
196.04 m
↓
N 50.071244°
W 22.859803°		 ← 196.03 m →
38 429 m²		 N 50.071244°
W 22.857056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436504364013672 y=0.338832855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436504364013672 × 217)
    floor (0.436504364013672 × 131072)
    floor (57213.5)     		tx = 57213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338832855224609 × 217)
    floor (0.338832855224609 × 131072)
    floor (44411.5)     		ty = 44411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57213 / 44411 ti = "17/57213/44411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57213/44411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57213 ÷ 217
    57213 ÷ 131072     		x = 0.436500549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44411 ÷ 217
    44411 ÷ 131072     		y = 0.338829040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436500549316406 × 2 - 1) × π
    -0.126998901367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.39897882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338829040527344 × 2 - 1) × π
    0.322341918945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.01266700447369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39897882} λ = -0.39897882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01266700447369))-π/2
    2×atan(2.75293331850386)-π/2
    2×1.222367578107-π/2
    2.44473515621401-1.57079632675     		φ = 0.87393883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39897882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.859803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87393883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.073007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57213 KachelY 44411 -0.39897882 0.87393883 -22.859803 50.073007
    Oben rechts KachelX + 1 57214 KachelY 44411 -0.39893088 0.87393883 -22.857056 50.073007
    Unten links KachelX 57213 KachelY + 1 44412 -0.39897882 0.87390806 -22.859803 50.071244
    Unten rechts KachelX + 1 57214 KachelY + 1 44412 -0.39893088 0.87390806 -22.857056 50.071244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87393883-0.87390806) × R
    3.07700000000688e-05 × 6371000     		dl = 196.035670000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87393883-0.87390806) × R
    3.07700000000688e-05 × 6371000     		dr = 196.035670000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39897882--0.39893088) × cos(0.87393883) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641810991241324 × 6371000     		do = 196.025596940113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39897882--0.39893088) × cos(0.87390806) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641834587307802 × 6371000     		du = 196.032803786178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87393883)-sin(0.87390806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641810991241324-0.641834587307802)×R²
    abs(-0.39893088--0.39897882)×2.35960664772827e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35960664772827e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35960664772827e-05×40589641000000     		ar = 38428.7156358222m²