Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57211 / 85336
↖ ↑ ↗
← S 47.680183°
W 22.865295°		 ← 205.63 m → S 47.680183°
W 22.862549°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
S 47.682032°
W 22.865295°		 ← 205.63 m →
42 276 m²		 S 47.682032°
W 22.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436489105224609 y=0.651065826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436489105224609 × 217)
    floor (0.436489105224609 × 131072)
    floor (57211.5)     		tx = 57211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651065826416016 × 217)
    floor (0.651065826416016 × 131072)
    floor (85336.5)     		ty = 85336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57211 / 85336 ti = "17/57211/85336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57211/85336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57211 ÷ 217
    57211 ÷ 131072     		x = 0.436485290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85336 ÷ 217
    85336 ÷ 131072     		y = 0.65106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436485290527344 × 2 - 1) × π
    -0.127029418945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.39907469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.3021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.949150612477112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39907469} λ = -0.39907469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949150612477112))-π/2
    2×atan(0.387069656002848)-π/2
    2×0.369310073221881-π/2
    0.738620146443762-1.57079632675     		φ = -0.83217618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39907469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.865295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83217618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.680183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57211 KachelY 85336 -0.39907469 -0.83217618 -22.865295 -47.680183
    Oben rechts KachelX + 1 57212 KachelY 85336 -0.39902675 -0.83217618 -22.862549 -47.680183
    Unten links KachelX 57211 KachelY + 1 85337 -0.39907469 -0.83220845 -22.865295 -47.682032
    Unten rechts KachelX + 1 57212 KachelY + 1 85337 -0.39902675 -0.83220845 -22.862549 -47.682032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83217618--0.83220845) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dl = 205.592169999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83217618--0.83220845) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dr = 205.592169999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39907469--0.39902675) × cos(-0.83217618) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.673268291823609 × 6371000     		do = 205.633466248865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39907469--0.39902675) × cos(-0.83220845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.673244431090764 × 6371000     		du = 205.626178566879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83217618)-sin(-0.83220845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673268291823609-0.673244431090764)×R²
    abs(-0.39902675--0.39907469)×2.38607328446605e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38607328446605e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38607328446605e-05×40589641000000     		ar = 42275.8814093139m²