Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57211 / 38277
↖ ↑ ↗
← N 59.705170°
W 22.865295°		 ← 154.07 m → N 59.705170°
W 22.862549°		 →
↑
154.05 m
↓
↑
154.05 m
↓
N 59.703785°
W 22.865295°		 ← 154.08 m →
23 735 m²		 N 59.703785°
W 22.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436489105224609 y=0.292034149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436489105224609 × 217)
    floor (0.436489105224609 × 131072)
    floor (57211.5)     		tx = 57211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292034149169922 × 217)
    floor (0.292034149169922 × 131072)
    floor (38277.5)     		ty = 38277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57211 / 38277 ti = "17/57211/38277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57211/38277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57211 ÷ 217
    57211 ÷ 131072     		x = 0.436485290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38277 ÷ 217
    38277 ÷ 131072     		y = 0.292030334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436485290527344 × 2 - 1) × π
    -0.127029418945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.39907469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292030334472656 × 2 - 1) × π
    0.415939331054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.30671194674311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39907469} λ = -0.39907469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30671194674311))-π/2
    2×atan(3.69400762799251)-π/2
    2×1.30642406472827-π/2
    2.61284812945655-1.57079632675     		φ = 1.04205180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39907469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.865295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04205180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.705170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57211 KachelY 38277 -0.39907469 1.04205180 -22.865295 59.705170
    Oben rechts KachelX + 1 57212 KachelY 38277 -0.39902675 1.04205180 -22.862549 59.705170
    Unten links KachelX 57211 KachelY + 1 38278 -0.39907469 1.04202762 -22.865295 59.703785
    Unten rechts KachelX + 1 57212 KachelY + 1 38278 -0.39902675 1.04202762 -22.862549 59.703785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04205180-1.04202762) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dl = 154.050780000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04205180-1.04202762) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dr = 154.050780000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39907469--0.39902675) × cos(1.04205180) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.504449711917157 × 6371000     		do = 154.071926555162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39907469--0.39902675) × cos(1.04202762) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.504470589774854 × 6371000     		du = 154.078303190298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04205180)-sin(1.04202762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504449711917157-0.504470589774854)×R²
    abs(-0.39902675--0.39907469)×2.08778576966662e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08778576966662e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08778576966662e-05×40589641000000     		ar = 23735.3916260354m²