Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57210 / 9008
↖ ↑ ↗
← N 78.296044°
E134.263916°		 ← 123.90 m → N 78.296044°
E134.269409°		 →
↑
123.92 m
↓
↑
123.92 m
↓
N 78.294930°
E134.263916°		 ← 123.91 m →
15 354 m²		 N 78.294930°
E134.269409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872962951660156 y=0.137458801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872962951660156 × 216)
    floor (0.872962951660156 × 65536)
    floor (57210.5)     		tx = 57210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137458801269531 × 216)
    floor (0.137458801269531 × 65536)
    floor (9008.5)     		ty = 9008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57210 / 9008 ti = "16/57210/9008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57210/9008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57210 ÷ 216
    57210 ÷ 65536     		x = 0.872955322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9008 ÷ 216
    9008 ÷ 65536     		y = 0.137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872955322265625 × 2 - 1) × π
    0.74591064453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34334740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137451171875 × 2 - 1) × π
    0.72509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27796146994507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34334740} λ = 2.34334740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27796146994507))-π/2
    2×atan(9.75677065289002)-π/2
    2×1.46866004203366-π/2
    2.93732008406731-1.57079632675     		φ = 1.36652376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34334740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.263916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36652376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.296044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57210 KachelY 9008 2.34334740 1.36652376 134.263916 78.296044
    Oben rechts KachelX + 1 57211 KachelY 9008 2.34344327 1.36652376 134.269409 78.296044
    Unten links KachelX 57210 KachelY + 1 9009 2.34334740 1.36650431 134.263916 78.294930
    Unten rechts KachelX + 1 57211 KachelY + 1 9009 2.34344327 1.36650431 134.269409 78.294930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36652376-1.36650431) × R
    1.94499999999209e-05 × 6371000     		dl = 123.915949999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36652376-1.36650431) × R
    1.94499999999209e-05 × 6371000     		dr = 123.915949999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34334740-2.34344327) × cos(1.36652376) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202854904637927 × 6371000     		do = 123.901294837359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34334740-2.34344327) × cos(1.36650431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202873950210851 × 6371000     		du = 123.912927640374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36652376)-sin(1.36650431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202854904637927-0.202873950210851)×R²
    abs(2.34344327-2.34334740)×1.90455729242034e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90455729242034e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90455729242034e-05×40589641000000     		ar = 15354.0674015776m²