Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57210 / 42362
↖ ↑ ↗
← N 53.550099°
W 22.868042°		 ← 181.46 m → N 53.550099°
W 22.865295°		 →
↑
181.45 m
↓
↑
181.45 m
↓
N 53.548468°
W 22.868042°		 ← 181.47 m →
32 926 m²		 N 53.548468°
W 22.865295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436481475830078 y=0.323200225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436481475830078 × 217)
    floor (0.436481475830078 × 131072)
    floor (57210.5)     		tx = 57210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323200225830078 × 217)
    floor (0.323200225830078 × 131072)
    floor (42362.5)     		ty = 42362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57210 / 42362 ti = "17/57210/42362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57210/42362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57210 ÷ 217
    57210 ÷ 131072     		x = 0.436477661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42362 ÷ 217
    42362 ÷ 131072     		y = 0.323196411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436477661132812 × 2 - 1) × π
    -0.127044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39912263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323196411132812 × 2 - 1) × π
    0.353607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11088971179518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39912263} λ = -0.39912263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11088971179518))-π/2
    2×atan(3.03705930022572)-π/2
    2×1.2527109372925-π/2
    2.505421874585-1.57079632675     		φ = 0.93462555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39912263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.868042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93462555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.550099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57210 KachelY 42362 -0.39912263 0.93462555 -22.868042 53.550099
    Oben rechts KachelX + 1 57211 KachelY 42362 -0.39907469 0.93462555 -22.865295 53.550099
    Unten links KachelX 57210 KachelY + 1 42363 -0.39912263 0.93459707 -22.868042 53.548468
    Unten rechts KachelX + 1 57211 KachelY + 1 42363 -0.39907469 0.93459707 -22.865295 53.548468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93462555-0.93459707) × R
    2.84799999999974e-05 × 6371000     		dl = 181.446079999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93462555-0.93459707) × R
    2.84799999999974e-05 × 6371000     		dr = 181.446079999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39912263--0.39907469) × cos(0.93462555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59411966686135 × 6371000     		do = 181.459438899562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39912263--0.39907469) × cos(0.93459707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594142575267858 × 6371000     		du = 181.466435716572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93462555)-sin(0.93459707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59411966686135-0.594142575267858)×R²
    abs(-0.39907469--0.39912263)×2.2908406507649e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2908406507649e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2908406507649e-05×40589641000000     		ar = 32925.7386419903m²