Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57210 / 38275
↖ ↑ ↗
← N 59.707941°
W 22.868042°		 ← 154.06 m → N 59.707941°
W 22.865295°		 →
↑
154.05 m
↓
↑
154.05 m
↓
N 59.706556°
W 22.868042°		 ← 154.07 m →
23 733 m²		 N 59.706556°
W 22.865295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436481475830078 y=0.292018890380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436481475830078 × 217)
    floor (0.436481475830078 × 131072)
    floor (57210.5)     		tx = 57210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292018890380859 × 217)
    floor (0.292018890380859 × 131072)
    floor (38275.5)     		ty = 38275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57210 / 38275 ti = "17/57210/38275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57210/38275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57210 ÷ 217
    57210 ÷ 131072     		x = 0.436477661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38275 ÷ 217
    38275 ÷ 131072     		y = 0.292015075683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436477661132812 × 2 - 1) × π
    -0.127044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39912263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292015075683594 × 2 - 1) × π
    0.415969848632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.30680782054235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39912263} λ = -0.39912263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30680782054235))-π/2
    2×atan(3.69436180351603)-π/2
    2×1.30644824548249-π/2
    2.61289649096497-1.57079632675     		φ = 1.04210016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39912263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.868042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04210016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.707941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57210 KachelY 38275 -0.39912263 1.04210016 -22.868042 59.707941
    Oben rechts KachelX + 1 57211 KachelY 38275 -0.39907469 1.04210016 -22.865295 59.707941
    Unten links KachelX 57210 KachelY + 1 38276 -0.39912263 1.04207598 -22.868042 59.706556
    Unten rechts KachelX + 1 57211 KachelY + 1 38276 -0.39907469 1.04207598 -22.865295 59.706556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04210016-1.04207598) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dl = 154.050780000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04210016-1.04207598) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dr = 154.050780000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39912263--0.39907469) × cos(1.04210016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.504407955316963 × 6371000     		do = 154.059173014469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39912263--0.39907469) × cos(1.04207598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.504428833764523 × 6371000     		du = 154.065549829765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04210016)-sin(1.04207598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504407955316963-0.504428833764523)×R²
    abs(-0.39907469--0.39912263)×2.08784475600465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08784475600465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08784475600465e-05×40589641000000     		ar = 23733.4269470218m²