Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57209 / 9002
↖ ↑ ↗
← N 78.302728°
E134.258423°		 ← 123.83 m → N 78.302728°
E134.263916°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
N 78.301614°
E134.258423°		 ← 123.84 m →
15 338 m²		 N 78.301614°
E134.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872947692871094 y=0.137367248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872947692871094 × 216)
    floor (0.872947692871094 × 65536)
    floor (57209.5)     		tx = 57209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137367248535156 × 216)
    floor (0.137367248535156 × 65536)
    floor (9002.5)     		ty = 9002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57209 / 9002 ti = "16/57209/9002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57209/9002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57209 ÷ 216
    57209 ÷ 65536     		x = 0.872940063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9002 ÷ 216
    9002 ÷ 65536     		y = 0.137359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872940063476562 × 2 - 1) × π
    0.745880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34325153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137359619140625 × 2 - 1) × π
    0.72528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27853671274051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34325153} λ = 2.34325153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27853671274051))-π/2
    2×atan(9.762384779503)-π/2
    2×1.4687183710161-π/2
    2.9374367420322-1.57079632675     		φ = 1.36664042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34325153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.258423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36664042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.302728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57209 KachelY 9002 2.34325153 1.36664042 134.258423 78.302728
    Oben rechts KachelX + 1 57210 KachelY 9002 2.34334740 1.36664042 134.263916 78.302728
    Unten links KachelX 57209 KachelY + 1 9003 2.34325153 1.36662098 134.258423 78.301614
    Unten rechts KachelX + 1 57210 KachelY + 1 9003 2.34334740 1.36662098 134.263916 78.301614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36664042-1.36662098) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36664042-1.36662098) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34325153-2.34334740) × cos(1.36664042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202740668758381 × 6371000     		do = 123.831520959238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34325153-2.34334740) × cos(1.36662098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202759704999197 × 6371000     		du = 123.843148062315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36664042)-sin(1.36662098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202740668758381-0.202759704999197)×R²
    abs(2.34334740-2.34325153)×1.90362408163114e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90362408163114e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90362408163114e-05×40589641000000     		ar = 15337.5312751956m²