Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57209 / 42361
↖ ↑ ↗
← N 53.551731°
W 22.870788°		 ← 181.41 m → N 53.551731°
W 22.868042°		 →
↑
181.45 m
↓
↑
181.45 m
↓
N 53.550099°
W 22.870788°		 ← 181.42 m →
32 918 m²		 N 53.550099°
W 22.868042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436473846435547 y=0.323192596435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436473846435547 × 217)
    floor (0.436473846435547 × 131072)
    floor (57209.5)     		tx = 57209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323192596435547 × 217)
    floor (0.323192596435547 × 131072)
    floor (42361.5)     		ty = 42361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57209 / 42361 ti = "17/57209/42361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57209/42361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57209 ÷ 217
    57209 ÷ 131072     		x = 0.436470031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42361 ÷ 217
    42361 ÷ 131072     		y = 0.323188781738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436470031738281 × 2 - 1) × π
    -0.127059936523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39917056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323188781738281 × 2 - 1) × π
    0.353622436523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.1109376486948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39917056} λ = -0.39917056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1109376486948))-π/2
    2×atan(3.03720489092209)-π/2
    2×1.25272517714541-π/2
    2.50545035429083-1.57079632675     		φ = 0.93465403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39917056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.870788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93465403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.551731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57209 KachelY 42361 -0.39917056 0.93465403 -22.870788 53.551731
    Oben rechts KachelX + 1 57210 KachelY 42361 -0.39912263 0.93465403 -22.868042 53.551731
    Unten links KachelX 57209 KachelY + 1 42362 -0.39917056 0.93462555 -22.870788 53.550099
    Unten rechts KachelX + 1 57210 KachelY + 1 42362 -0.39912263 0.93462555 -22.868042 53.550099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93465403-0.93462555) × R
    2.84799999999974e-05 × 6371000     		dl = 181.446079999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93465403-0.93462555) × R
    2.84799999999974e-05 × 6371000     		dr = 181.446079999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39917056--0.39912263) × cos(0.93465403) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.594096757972946 × 6371000     		do = 181.414592031148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39917056--0.39912263) × cos(0.93462555) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59411966686135 × 6371000     		du = 181.421587535817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93465403)-sin(0.93462555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594096757972946-0.59411966686135)×R²
    abs(-0.39912263--0.39917056)×2.29088884042827e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29088884042827e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29088884042827e-05×40589641000000     		ar = 32917.6012345827m²