Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57207 / 38330
↖ ↑ ↗
← N 59.631657°
W 22.876282°		 ← 154.41 m → N 59.631657°
W 22.873535°		 →
↑
154.37 m
↓
↑
154.37 m
↓
N 59.630269°
W 22.876282°		 ← 154.42 m →
23 837 m²		 N 59.630269°
W 22.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436458587646484 y=0.292438507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436458587646484 × 217)
    floor (0.436458587646484 × 131072)
    floor (57207.5)     		tx = 57207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292438507080078 × 217)
    floor (0.292438507080078 × 131072)
    floor (38330.5)     		ty = 38330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57207 / 38330 ti = "17/57207/38330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57207/38330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57207 ÷ 217
    57207 ÷ 131072     		x = 0.436454772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38330 ÷ 217
    38330 ÷ 131072     		y = 0.292434692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436454772949219 × 2 - 1) × π
    -0.127090454101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.39926644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292434692382812 × 2 - 1) × π
    0.415130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30417129106325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39926644} λ = -0.39926644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30417129106325))-π/2
    2×atan(3.6846343387233)-π/2
    2×1.3057825449983-π/2
    2.61156508999659-1.57079632675     		φ = 1.04076876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39926644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.876282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04076876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.631657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57207 KachelY 38330 -0.39926644 1.04076876 -22.876282 59.631657
    Oben rechts KachelX + 1 57208 KachelY 38330 -0.39921850 1.04076876 -22.873535 59.631657
    Unten links KachelX 57207 KachelY + 1 38331 -0.39926644 1.04074453 -22.876282 59.630269
    Unten rechts KachelX + 1 57208 KachelY + 1 38331 -0.39921850 1.04074453 -22.873535 59.630269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04076876-1.04074453) × R
    2.42299999999585e-05 × 6371000     		dl = 154.369329999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04076876-1.04074453) × R
    2.42299999999585e-05 × 6371000     		dr = 154.369329999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39926644--0.39921850) × cos(1.04076876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.505557125838308 × 6371000     		do = 154.410159271516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39926644--0.39921850) × cos(1.04074453) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.505578031167544 × 6371000     		du = 154.416544297168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04076876)-sin(1.04074453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505557125838308-0.505578031167544)×R²
    abs(-0.39921850--0.39926644)×2.09053292363759e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09053292363759e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09053292363759e-05×40589641000000     		ar = 23836.6856590275m²