Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57206 / 9060
↖ ↑ ↗
← N 78.237958°
E134.241944°		 ← 124.51 m → N 78.237958°
E134.247437°		 →
↑
124.49 m
↓
↑
124.49 m
↓
N 78.236838°
E134.241944°		 ← 124.52 m →
15 501 m²		 N 78.236838°
E134.247437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872901916503906 y=0.138252258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872901916503906 × 216)
    floor (0.872901916503906 × 65536)
    floor (57206.5)     		tx = 57206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138252258300781 × 216)
    floor (0.138252258300781 × 65536)
    floor (9060.5)     		ty = 9060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57206 / 9060 ti = "16/57206/9060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57206/9060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57206 ÷ 216
    57206 ÷ 65536     		x = 0.872894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9060 ÷ 216
    9060 ÷ 65536     		y = 0.13824462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872894287109375 × 2 - 1) × π
    0.74578857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34296391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13824462890625 × 2 - 1) × π
    0.7235107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27297603238458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34296391} λ = 2.34296391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27297603238458))-π/2
    2×atan(9.70824993101953)-π/2
    2×1.46815314561023-π/2
    2.93630629122045-1.57079632675     		φ = 1.36550996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34296391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.241944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36550996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.237958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57206 KachelY 9060 2.34296391 1.36550996 134.241944 78.237958
    Oben rechts KachelX + 1 57207 KachelY 9060 2.34305978 1.36550996 134.247437 78.237958
    Unten links KachelX 57206 KachelY + 1 9061 2.34296391 1.36549042 134.241944 78.236838
    Unten rechts KachelX + 1 57207 KachelY + 1 9061 2.34305978 1.36549042 134.247437 78.236838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36550996-1.36549042) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dl = 124.489340000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36550996-1.36549042) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dr = 124.489340000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34296391-2.34305978) × cos(1.36550996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203847522110233 × 6371000     		do = 124.507573449732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34296391-2.34305978) × cos(1.36549042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203866651783087 × 6371000     		du = 124.519257619956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36550996)-sin(1.36549042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203847522110233-0.203866651783087)×R²
    abs(2.34305978-2.34296391)×1.91296728543899e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91296728543899e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91296728543899e-05×40589641000000     		ar = 15500.5929216628m²